電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2023年8月実施 必須問題 微分積分

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$f(x,y)=x^2+y^2$、

$$g(x,y)=f(x-y-1,\,2x+y-2)+19$$

とする。曲面 $z=g(x,y)$ の $(1,1,g(1,1))$ における接平面を求め、これと曲面 $z=f(x,y)$ の交線上で $z$ が最大となる点を求めよ。また、指定された 2 つの重積分と 2 重和の極限を求めよ。

题目描述

求复合二元函数曲面的切平面、该平面与抛物面的交线上高度最大的点，并计算两个二重积分及一个二维 Riemann 和的极限。

Kai

(1)

(i)

$$g=(x-y-1)^2+(2x+y-2)^2+19.$$

$g(1,1)=21$、$\nabla g(1,1)=(2,4)$ より、

$$\boxed{h(x,y)=21+2(x-1)+4(y-1)=2x+4y+15}.$$

(ii)

交線の $xy$ 平面への射影は

$$x^2+y^2=2x+4y+15,$$

すなわち

$$(x-1)^2+(y-2)^2=20$$

である。この円上で $2x+4y+15$ を最大化する。中心 $(1,2)$ からベクトル $(2,4)$ の方向に進んだ点が最大点であるから、

$$(x,y)=(1,2)+2\sqrt5\,\frac{(2,4)}{2\sqrt5}=(3,6).$$

このとき $z=3^2+6^2=45$ なので、

$$\boxed{(a,b,c)=(3,6,45)}.$$

(2)

(i)

$$\begin{aligned} I &=\int_0^1\int_{y^3}^{y}e^{y^2}\,dx\,dy\\ &=\int_0^1(y-y^3)e^{y^2}\,dy\\ &=\frac12\int_0^1(1-t)e^t\,dt =\boxed{\frac e2-1}. \end{aligned}$$

(ii)

極座標を用いると

$$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{3},\qquad 1\leq r\leq2\cos\theta.$$

したがって、

$$\begin{aligned} J &=\int_0^{\pi/3}\int_1^{2\cos\theta}\cos\theta\,dr\,d\theta\\ &=\int_0^{\pi/3}(2\cos^2\theta-\cos\theta)\,d\theta\\ &=\boxed{\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}}. \end{aligned}$$

(3)

$$L_n=\frac1{n^2}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n \frac1{j/n+k/n+1}$$

は $[0,1]^2$ 上の Riemann 和である。よって、

$$\begin{aligned} L &=\int_0^1\int_0^1\frac1{x+y+1}\,dx\,dy\\ &=3\log3-4\log2 =\boxed{\log\frac{27}{16}}. \end{aligned}$$