電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2023年8月実施 必須問題 線形代数

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Matrix-Determinant
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Basis-and-Dimension
• Matrix-Power

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$$A=\begin{pmatrix} -4&2&-1&-7\\ 0&5&-3&0\\ 0&4&-3&0\\ 3&-2&1&6 \end{pmatrix}, \quad p_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}, \quad p_2=\begin{pmatrix}7\\1\\2\\-3\end{pmatrix}, \quad p_3=\begin{pmatrix}9\\2\\4\\-1\end{pmatrix}$$

とする。$\det A$、$p_3$ と $\operatorname{span}\{p_1,p_2\}$ の関係、各 $p_i$ が固有ベクトルとなるか、最小の該当固有値に対する固有空間の基底、および $A^np_3$ を求めよ。

题目描述

给定一个四阶矩阵及三个向量，求行列式，判断第三个向量是否属于前两个向量生成的子空间，判定各向量是否为特征向量，并求相应特征空间及 $A^np_3$。

Kai

(1)

行と列をともに $(1,4,2,3)$ の順に並べるとブロック上三角行列となる。したがって、

$$\det A =\det\begin{pmatrix}-4&-7\\3&6\end{pmatrix} \det\begin{pmatrix}5&-3\\4&-3\end{pmatrix} =(-3)(-3)=\boxed{9}.$$

(2)

$$p_3=-5p_1+2p_2$$

であるから、$\boxed{p_3\in V}$ である。

(3)

直接計算すると

$$Ap_1=3p_1,\qquad Ap_2=-p_2,$$

である。よって

$$\boxed{\alpha_1=3},\qquad \boxed{\alpha_2=-1}.$$

一方、

$$Ap_3=\begin{pmatrix}-29\\-2\\-4\\21\end{pmatrix}$$

は $p_3$ の定数倍ではない。したがって $\boxed{\alpha_3\text{ は存在しない}}$。

(4)

最小の固有値は $\alpha=-1$ である。$(A+I)x=0$ を解くと

$$x_3=2x_2,\qquad 3x_1+7x_4=0.$$

よって固有空間の基底の一例は

$$\boxed{ \left\{ \begin{pmatrix}-7\\0\\0\\3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\end{pmatrix} \right\}}.$$

(5)

(2), (3) より

$$\begin{aligned} A^np_3 &=-5A^np_1+2A^np_2\\ &=-5\cdot3^np_1+2(-1)^np_2. \end{aligned}$$

したがって、

$$\boxed{ A^np_3= \begin{pmatrix} -5\cdot3^n+14(-1)^n\\ 2(-1)^n\\ 4(-1)^n\\ 5\cdot3^n-6(-1)^n \end{pmatrix}}.$$