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電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2022年8月実施 選択問題 数値計算

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

区間 [0,∞)[0,\infty) で 2 回連続微分可能な関数 ff が f′(x)>0f'(x)>0、f′′(x)>0f''(x)>0 を満たし、方程式 f(x)=0f(x)=0 はこの区間に唯一の解 α\alpha をもつとする。初期値 x0>αx_0>\alpha から Newton 法を適用する。反復式を導き、反復列が α\alpha に単調収束すること、誤差が 2 次収束すること、および有効桁数の変化を示せ。

题目描述​

对具有唯一根的非线性方程应用 Newton 法：推导迭代式，证明在一阶、二阶导数为正时从根右侧单调收敛，并求二次收敛的误差常数和有效数字变化。

Kai​

1.​

x=xnx=x_n における 1 次近似は

f(x)≃f(xn)+f′(xn)(x−xn)f(x)\simeq f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)

である。右辺を 00 とする xx を xn+1x_{n+1} とすれば、

xn+1=xn−f(xn)f′(xn).\boxed{x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}.

2.​

xn>αx_n>\alpha とする。f′>0f'>0 と f(α)=0f(\alpha)=0 より f(xn)>0f(x_n)>0 なので、

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)<xn.x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}<x_n.

また、与えられた Taylor の公式から

f(xn)=f′(xn)(xn−α)−12f′′(ξ)(xn−α)2f(x_n)=f'(x_n)(x_n-\alpha) -\frac12f''(\xi)(x_n-\alpha)^2

である。したがって、

xn+1−α=f′′(ξ)2f′(xn)(xn−α)2>0.\boxed{ x_{n+1}-\alpha =\frac{f''(\xi)}{2f'(x_n)}(x_n-\alpha)^2>0}.

よって

α<xn+1<xn.\boxed{\alpha<x_{n+1}<x_n}.

3.​

(2) より {xn}\{x_n\} は単調減少し、α\alpha を下界にもつので、ある l≥αl\geq\alpha に収束する。また、

f(xn)=f′(xn)(xn−xn+1).f(x_n)=f'(x_n)(x_n-x_{n+1}).

f′f' は閉区間 [α,x0][\alpha,x_0] で有界であり、xn−xn+1→0x_n-x_{n+1}\to0 であるから f(xn)→0f(x_n)\to0。連続性と解の一意性より f(l)=0f(l)=0、すなわち

lim⁡n→∞xn=α.\boxed{\lim_{n\to\infty}x_n=\alpha}.

4.​

en=xn−αe_n=x_n-\alpha とおく。(2) の式より、ある ξn∈[α,xn]\xi_n\in[\alpha,x_n] が存在して

en+1en2=f′′(ξn)2f′(xn).\frac{e_{n+1}}{e_n^2} =\frac{f''(\xi_n)}{2f'(x_n)}.

xn→αx_n\to\alpha かつ ξn→α\xi_n\to\alpha であるから、

lim⁡n→∞en+1en2=f′′(α)2f′(α).\boxed{ \lim_{n\to\infty}\frac{e_{n+1}}{e_n^2} =\frac{f''(\alpha)}{2f'(\alpha)}}.

5.​

十分大きい nn では ∣en+1∣≃C∣en∣2|e_{n+1}|\simeq C|e_n|^2 である。∣en∣≃10−p|e_n|\simeq10^{-p} なら ∣en+1∣≃C10−2p|e_{n+1}|\simeq C10^{-2p} となるので、

有効桁数は 1 反復ごとにほぼ 2 倍になる.\boxed{\text{有効桁数は 1 反復ごとにほぼ 2 倍になる}}.
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