電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2022年8月実施 選択問題 確率統計

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Geometric-Distribution
• Negative-Binomial-Distribution
• Moment-Generating-Function
• Maximum-Likelihood-Estimation

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$q=1-p$ とし、独立な確率変数 $Y_a$ が

$$P(Y_a=k)={}_aH_kp^aq^k,\qquad {}_aH_k=\binom{a+k-1}{k}$$

に従うとする。$Y_1$ の積率母関数・平均・分散と $p$ の最尤推定量を求め、重複組合せの恒等式、畳み込みによる $Y_{a+1}$ の分布、および $Y_a$ の積率母関数を示せ。

题目描述

给定负二项分布族，求几何分布的矩母函数、均值、方差及参数的极大似然估计；证明重组合恒等式与卷积关系，并求一般负二项分布的矩母函数。

Kai

(1)

$X=Y_1$ では $P(X=k)=pq^k$ であるから、

$$\boxed{ \varphi(\theta) =\sum_{k=0}^{\infty}p(qe^\theta)^k =\frac{p}{1-qe^\theta}} \qquad(qe^\theta<1).$$

(2)

$\varphi'(0)$ と $\varphi''(0)$ を用いると、

$$\boxed{E[X]=\frac qp,\qquad V[X]=\frac q{p^2}}.$$

(3)

$S=\sum_{i=1}^n x_i$ とおく。尤度は

$$L(p)=p^n(1-p)^S$$

である。$S>0$ では $d\log L/dp=0$ より、

$$\boxed{\widehat p=\frac{n}{n+S} =\frac{1}{1+\overline x}}.$$

$S=0$ では $0<p<1$ 内に最大点はなく、$p\uparrow1$ のとき上限に近づく（閉区間まで許せば $\widehat p=1$）。

(4)

$k=0$ では両辺は $1$ である。$k-1$ で成立すると仮定すれば、Pascal の公式より

$$\begin{aligned} \sum_{m=0}^{k}{}_aH_m &={}_{a+1}H_{k-1}+{}_aH_k\\ &=\binom{a+k-1}{k-1}+\binom{a+k-1}{k}\\ &=\binom{a+k}{k}={}_{a+1}H_k. \end{aligned}$$

よって

$$\boxed{{}_{a+1}H_k=\sum_{m=0}^{k}{}_aH_m}.$$

(5)

$Y_a$ と $Y_1$ は独立なので、畳み込みにより

$$\begin{aligned} P(Y_a+Y_1=k) &=\sum_{m=0}^k{}_aH_mp^aq^m\,pq^{k-m}\\ &=p^{a+1}q^k\sum_{m=0}^k{}_aH_m\\ &={}_{a+1}H_kp^{a+1}q^k. \end{aligned}$$

したがって、

$$\boxed{Y_{a+1}\mathrel{\overset{d}{=}}Y_a+Y_1}.$$

(6)

(5) または二項級数より、

$$\boxed{ \varphi_a(\theta) =\left(\frac{p}{1-qe^\theta}\right)^a} \qquad(qe^\theta<1).$$