電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2022年8月実施 必須問題 微分積分

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$f(x,y)=e^{2y}\sin(x^2+3y)$ の Maclaurin 展開

$$f(x,y)=c_0+c_1x+c_2y+c_3x^2+c_4xy+c_5y^2+\cdots$$

の係数 $c_0,\ldots,c_5$ を求め、$g(x,y)=(x^2+xy)e^y$ の極値を調べよ。また、次の重積分を計算せよ。

$$\begin{aligned} I_1&=\iint_{x^2+y^2\le\pi^2}\sin\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy,\\ I_2&=\iint_D(x+y)\tan(x-y)\,dx\,dy,\\ D&=\{(x,y)\mid0\le x+y\le4,\ \pi/6\le x-y\le\pi/3\},\\ I_3&=\int_0^1\int_0^1|y-x^2|\,dy\,dx. \end{aligned}$$

题目描述

求二元函数 Maclaurin 展开至二次项的系数，判定另一函数的极值，并计算圆盘、线性变换区域及单位正方形上的三个二重积分。

Kai

(1)

2 次の項まで展開すると、

$$\begin{aligned} e^{2y}\sin(x^2+3y) &=(1+2y+2y^2+\cdots)(x^2+3y+\cdots)\\ &=3y+x^2+6y^2+\text{（3 次以上）}. \end{aligned}$$

したがって、

$$\boxed{c_0=0,\ c_1=0,\ c_2=3,\ c_3=1,\ c_4=0,\ c_5=6}.$$

(2)

$$g_x=(2x+y)e^y,\qquad g_y=x(x+y+1)e^y.$$

停留点は $(0,0)$ と $(1,-2)$ である。Hesse 行列を調べると、$(0,0)$ では行列式が $-1$ で鞍点、$(1,-2)$ では

$$H=e^{-2}\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$$

が正定値である。よって、

$$\boxed{(1,-2)\text{ で極小値 }-e^{-2}}$$

をとり、極大値はない。

(3)

(i)

極座標により、

$$\begin{aligned} I_1 &=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi r\sin r\,dr\,d\theta =\boxed{2\pi^2}. \end{aligned}$$

(ii)

$u=x+y$、$v=x-y$ とおくと $dx\,dy=\frac12du\,dv$ である。したがって、

$$\begin{aligned} I_2 &=\frac12\int_0^4u\,du \int_{\pi/6}^{\pi/3}\tan v\,dv\\ &=4\log\frac{\cos(\pi/6)}{\cos(\pi/3)} =\boxed{2\log3}. \end{aligned}$$

(iii)

$0\leq x\leq1$ では $y=x^2$ で分ければよい。よって、

$$\begin{aligned} I_3 &=\int_0^1\left\{ \int_0^{x^2}(x^2-y)\,dy +\int_{x^2}^1(y-x^2)\,dy \right\}dx\\ &=\int_0^1\left(\frac12-x^2+x^4\right)dx =\boxed{\frac{11}{30}}. \end{aligned}$$