電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2022年8月実施 必須問題 線形代数

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Author

Miyake

Description

実数 $a$ に対して、$A = \begin{bmatrix} -1 & 1+a & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 1-a & 5 \end{bmatrix}$ を考える、$E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ とする。

(1) $A$ の固有値をすべて求めよ。

(2) $A$ の最大の固有値を $\lambda_1$ とする. $\lambda_1$ に対する $A$ の固有空間の基底を求めよ。

(3) $A$ の最小の固有値を $\lambda_2$ とする. 線形変換 $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ を

$$f(x) = (\lambda_2 E - A)^2x \ \ (x \in \mathbb{R}^3)$$

で定義する。$f$ の核 $\text{Ker} f$ の次元、および $f$ の像 $\text{Im} f$ の次元を求めよ。

(4) $A$ が対角化可能であるための $a$ の条件を求めよ。

(5) $a$ が (4) で求めた条件をみたすとき、$A^n$ を求めよ、ただし、$n$ は自然数とする。

Kai

(1)

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -1-\lambda & 1+a & -2 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 4 & 1-a & 5-\lambda \end{pmatrix} \\ &= (1-\lambda) \det \begin{pmatrix} -1-\lambda & -2 \\ 4 & 5-\lambda \end{pmatrix} \\ &= (1-\lambda) (\lambda^2 - 4 \lambda + 3) \\ &= -(\lambda-1)^2 (\lambda-3) \\ \therefore \ \ \lambda &= 1, 3 \end{aligned}$$

を得る。

(2)

$A$ の最大の固有値 $\lambda_1 = 3$ に対する固有ベクトルを求めるため、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -4 & 1+a & -2 \\ 0 & -2 & 0 \\ 4 & 1-a & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $y=0, 2x+z=0$ を得る。 したがって、 $\lambda_1=3$ に対する $A$ の固有空間は1次元であり、その基底は、例えば、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(3)

$\lambda_2 = 1$ であり、

$$\begin{aligned} (\lambda_2 E - A)^2 &= 4 \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。 この行列のランクは $1$ なので、 $f$ の核の次元は $2$ であり、 $f$ の像の次元は $1$ であることがわかる。

(4)

$A$ が対角化可能であるための条件は、固有値 $\lambda_2=1$ の固有空間が2次元であることである。 固有値 $\lambda_2 = 1$ に対する固有ベクトルを求めるため、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -2 & 1+a & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1-a & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{align} -2x+(1+a)y-2z = 0 \tag{a} \\ 4x+(1-a)y+4z = 0 \tag{b} \end{align}$$

を得る。 ($a$) $\times 2$ と ($b$) の両辺を足すと、

$$\begin{align} (a+3)y = 0 \tag{c} \end{align}$$

を得る。

(i) $a \ne -3$ のとき、 ($a$), ($b$), ($c$) より $y=0, x+z=0$ となるので、 固有値 $\lambda_2=1$ に対する固有空間は1次元であり、 $A$ は対角化可能でない。

(ii) $a = -3$ のとき、 ($a$), ($b$), ($c$) より $x+y+z=0$ となるので、 固有値 $\lambda_2=1$ に対する固有空間は2次元であり、 $A$ は対角化可能である。

(i), (ii) より、 $A$ が対角化可能であるための条件は $a=-3$ である。

(5)

$a=-3$ のとき、

$$\begin{aligned} P &= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} P^{-1} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \\ P^{-1} A P &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} A^n &= P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}^n P^{-1} \\ &= P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} 2-3^n & 1-3^n & 1-3^n \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 \cdot 3^n - 2 & 2 \cdot 3^n - 2 & 2 \cdot 3^n - 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を得る。