電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2022年8月実施 必須問題 線形代数

Author

Miyake

Description

実数 に対して、 を考える、 とする。

(1) の固有値をすべて求めよ。

(2) の最大の固有値を とする. に対する の固有空間の基底を求めよ。

(3) の最小の固有値を とする. 線形変換 を

で定義する。 の核 の次元、および の像 の次元を求めよ。

(4) が対角化可能であるための の条件を求めよ。

(5) が (4) で求めた条件をみたすとき、 を求めよ、ただし、 は自然数とする。

Kai

(1)

の固有値を とすると、

を得る。

(2)

の最大の固有値 に対する固有ベクトルを求めるため、

とおくと、 を得る。 したがって、 に対する の固有空間は1次元であり、その基底は、例えば、

である。

(3)

であり、

である。 この行列のランクは なので、 の核の次元は であり、 の像の次元は であることがわかる。

(4)

が対角化可能であるための条件は、固有値 の固有空間が2次元であることである。 固有値 に対する固有ベクトルを求めるため、

とおくと、

を得る。 () と () の両辺を足すと、

を得る。

(i) のとき、 (), (), () より となるので、 固有値 に対する固有空間は1次元であり、 は対角化可能でない。

(ii) のとき、 (), (), () より となるので、 固有値 に対する固有空間は2次元であり、 は対角化可能である。

(i), (ii) より、 が対角化可能であるための条件は である。

(5)

のとき、

とおくと、

であり、

を得る。