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電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2022年8月実施 必須問題 線形代数

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

実数 aa に対して

A=(−11+a−201041−a5)A=\begin{pmatrix} -1&1+a&-2\\ 0&1&0\\ 4&1-a&5 \end{pmatrix}

とし、EE を 3 次単位行列とする。固有値と最大固有値の固有空間の基底を求めよ。最小固有値を λ2\lambda_2 とし、(λ2E−A)2(\lambda_2E-A)^2 が定める線形変換の核・像の次元を求め、AA が対角化可能となる条件およびその場合の AnA^n を求めよ。

题目描述​

给定含实参数 aa 的三阶矩阵，求其特征值与特征空间、由最小特征值定义的线性变换的核与像的维数，并判断可对角化条件及计算矩阵幂。

Kai​

(1)​

det⁡(λE−A)=(λ−1)det⁡(λ+12−4λ−5)=(λ−1)2(λ−3).\begin{aligned} \det(\lambda E-A) &=(\lambda-1) \det\begin{pmatrix}\lambda+1&2\\-4&\lambda-5\end{pmatrix}\\ &=(\lambda-1)^2(\lambda-3). \end{aligned}

したがって固有値は

1（重複度 2）,3（重複度 1）.\boxed{1\text{（重複度 2）},\qquad 3\text{（重複度 1）}}.

(2)​

最大固有値は λ1=3\lambda_1=3 である。(A−3E)x=0(A-3E)x=0 より

y=0,2x+z=0.y=0,\qquad 2x+z=0.

よって固有空間の基底は

{(10−2)}.\boxed{\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\right\}}.

(3)​

最小固有値は λ2=1\lambda_2=1 であり、直接計算すると

(E−A)2=4(−1−1−1000222).(E-A)^2 =4\begin{pmatrix} -1&-1&-1\\ 0&0&0\\ 2&2&2 \end{pmatrix}.

この行列の階数は 11 である。階数・退化次数定理より、

dim⁡Ker⁡f=2,dim⁡Im⁡f=1.\boxed{\dim\operatorname{Ker}f=2,\qquad \dim\operatorname{Im}f=1}.

(4)​

固有値 11 の固有空間について、(A−E)x=0(A-E)x=0 は

−2x+(1+a)y−2z=0,4x+(1−a)y+4z=0-2x+(1+a)y-2z=0,\qquad 4x+(1-a)y+4z=0

であり、両式から (a+3)y=0(a+3)y=0 を得る。a≠−3a\ne-3 では固有空間は 1 次元、a=−3a=-3 では式が 1 本だけとなり 2 次元である。したがって、

A が対角化可能  ⟺  a=−3.\boxed{A\text{ が対角化可能}\iff a=-3}.

(5)​

a=−3a=-3 とし、P=(A−E)/2P=(A-E)/2 とおくと P2=PP^2=P、A=E+2PA=E+2P である。よって

An=(E−P)+3nP=E+(3n−1)P.A^n=(E-P)+3^nP=E+(3^n-1)P.

したがって、

An=(2−3n1−3n1−3n0102⋅3n−22⋅3n−22⋅3n−1)\boxed{ A^n=\begin{pmatrix} 2-3^n&1-3^n&1-3^n\\ 0&1&0\\ 2\cdot3^n-2&2\cdot3^n-2&2\cdot3^n-1 \end{pmatrix}}

である。

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