電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2021年8月実施 選択問題 数値計算

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Numerical-Analysis
• First-Order-Ordinary-Differential-Equation
• Characteristic-Roots-and-Stability

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

複素定数 $\lambda$ に対する常微分方程式

$$\frac{dx}{dt}=\lambda x$$

を刻み幅 $h$、$t_n=t_0+nh$ で離散化し、$x(t_n)$ の数値解を $x_n$ とする。

1. $t_n$ における 1 次前進差分を示せ。
2. $t_n$ における 1 次後退差分を示せ。
3. 陽的 Euler 法の $x_{n+1}$ を求めよ。
4. 陰的 Euler 法の $x_{n+1}$ を求めよ。
5. $z=\lambda h$ とし、陽的 Euler 法の増幅率 $\gamma=x_{n+1}/x_n$ が $|\gamma|\le1$ を満たす安定領域を複素平面上で示し、$h$ との関係を述べよ。
6. 陰的 Euler 法について同様に答えよ。

题目描述

对线性测试方程 $x'=\lambda x$，写出前向/后向差分以及显式、隐式 Euler 迭代式，并在复平面上求两种方法的绝对稳定域，讨论步长与实数或纯虚特征值的关系。

Kai

(1)

$$\boxed{\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=t_n} \simeq\frac{x_{n+1}-x_n}{h}}.$$

(2)

$$\boxed{\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=t_n} \simeq\frac{x_n-x_{n-1}}{h}}.$$

(3)

$$\frac{x_{n+1}-x_n}{h}=\lambda x_n$$

より

$$\boxed{x_{n+1}=(1+\lambda h)x_n}.$$

(4)

$$\frac{x_{n+1}-x_n}{h}=\lambda x_{n+1}$$

より

$$\boxed{x_{n+1}=\frac{x_n}{1-\lambda h}}.$$

(5) 陽的 Euler 法

$$\gamma=1+z.$$

したがって安定領域は

$$\boxed{|1+z|\le1},$$

すなわち複素平面上の中心 $-1$、半径 $1$ の閉円板である。

$h>0$ とすると、一般に

$$|1+h\lambda|\le1 \iff h|\lambda|^2\le-2\operatorname{Re}\lambda.$$

よって $\operatorname{Re}\lambda<0$ のとき

$$\boxed{0<h\le-\frac{2\operatorname{Re}\lambda}{|\lambda|^2}}.$$

特に、実数 $\lambda<0$ では $h\le-2/\lambda$、純虚数 $\lambda=i\omega\ne0$ では正の $h$ に対して常に不安定である。

(6) 陰的 Euler 法

$$\gamma=\frac1{1-z}.$$

したがって安定領域は

$$\boxed{|1-z|\ge1},$$

すなわち中心 $1$、半径 $1$ の開円板の外側とその境界である。$h>0$ について

$$|1-h\lambda|\ge1 \iff h|\lambda|^2\ge2\operatorname{Re}\lambda.$$

したがって $\operatorname{Re}\lambda\le0$ なら任意の $h>0$ で安定である。特に実数 $\lambda<0$ と純虚数 $\lambda=i\omega$ では刻み幅に制限がない。$\operatorname{Re}\lambda>0$ では、この判定条件だけなら

$$h\ge\frac{2\operatorname{Re}\lambda}{|\lambda|^2}$$

で $|\gamma|\le1$ となるが、厳密解自体は増大するため、これは元の方程式の増大を再現しない数値的減衰である。