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電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2021年8月実施 選択問題 確率統計

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

β>0\beta>0 とし、感染症の発症間隔 XX の密度を

fX(x)=β2xe−βx(x>0)f_X(x)=\beta^2xe^{-\beta x}\qquad(x>0)

とする。

  1. XX の積率母関数 φ(θ)=E[eθX]\varphi(\theta)=E[e^{\theta X}] を求めよ。
  2. E[X]E[X] と V[X]V[X] を求めよ。
  3. 独立標本 x1,…,xnx_1,\ldots,x_n から β\beta の最尤推定値を求めよ。

さらに、YY は XX と独立で

fY(y)=βe−βy(y>0)f_Y(y)=\beta e^{-\beta y}\qquad(y>0)

に従い、Z=X+YZ=X+Y とする。

  1. ZZ の密度を求めよ。
  2. β=1\beta=1 のとき P(Z≥2)P(Z\ge2) を e=2.7e=2.7 として有効数字 2 桁で求めよ。

题目描述​

给定形状参数为 2 的 Gamma 型发病间隔分布，求矩母函数、期望、方差和参数的极大似然估计；再与同率参数的独立指数变量相加，求和的密度及尾概率。

Kai​

(1)​

φ(θ)=β2∫0∞xe−(β−θ)x dx=(ββ−θ)2(θ<β).\begin{aligned} \varphi(\theta) &=\beta^2\int_0^\infty xe^{-(\beta-\theta)x}\,dx\\ &=\boxed{\left(\frac{\beta}{\beta-\theta}\right)^2} \qquad(\theta<\beta). \end{aligned}

(2)​

XX は形状 22、率 β\beta の Gamma 分布なので

E[X]=2β,V[X]=2β2.\boxed{E[X]=\frac2\beta,\qquad V[X]=\frac2{\beta^2}}.

(3)​

対数尤度は定数項を除いて

ℓ(β)=2nlog⁡β−β∑i=1nxi.\ell(\beta)=2n\log\beta-\beta\sum_{i=1}^nx_i.

したがって

ℓ′(β)=2nβ−∑i=1nxi=0\ell'(\beta)=\frac{2n}{\beta}-\sum_{i=1}^nx_i=0

より

β^=2n∑i=1nxi.\boxed{\hat\beta=\frac{2n}{\sum_{i=1}^nx_i}}.

(4)​

畳み込みにより、z>0z>0 に対して

fZ(z)=∫0zβ2xe−βx βe−β(z−x) dx=β3z22e−βz.\begin{aligned} f_Z(z) &=\int_0^z\beta^2xe^{-\beta x}\, \beta e^{-\beta(z-x)}\,dx\\ &=\boxed{\frac{\beta^3z^2}{2}e^{-\beta z}}. \end{aligned}

z≤0z\le0 では fZ(z)=0f_Z(z)=0 である。

(5)​

ZZ は形状 33、率 11 の Gamma 分布なので

P(Z≥2)=e−2(1+2+222)=52.72≐0.69.\begin{aligned} P(Z\ge2) &=e^{-2}\left(1+2+\frac{2^2}{2}\right)\\ &=\frac5{2.7^2} \doteq\boxed{0.69}. \end{aligned}
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