電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2021年8月実施 選択問題 確率統計

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• Expectation-and-Variance
• Maximum-Likelihood-Estimation
• Exponential-Distribution

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$\beta>0$ とし、感染症の発症間隔 $X$ の密度を

$$f_X(x)=\beta^2xe^{-\beta x}\qquad(x>0)$$

とする。

1. $X$ の積率母関数 $\varphi(\theta)=E[e^{\theta X}]$ を求めよ。
2. $E[X]$ と $V[X]$ を求めよ。
3. 独立標本 $x_1,\ldots,x_n$ から $\beta$ の最尤推定値を求めよ。

さらに、$Y$ は $X$ と独立で

$$f_Y(y)=\beta e^{-\beta y}\qquad(y>0)$$

に従い、$Z=X+Y$ とする。

4. $Z$ の密度を求めよ。
5. $\beta=1$ のとき $P(Z\ge2)$ を $e=2.7$ として有効数字 2 桁で求めよ。

题目描述

给定形状参数为 2 的 Gamma 型发病间隔分布，求矩母函数、期望、方差和参数的极大似然估计；再与同率参数的独立指数变量相加，求和的密度及尾概率。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \varphi(\theta) &=\beta^2\int_0^\infty xe^{-(\beta-\theta)x}\,dx\\ &=\boxed{\left(\frac{\beta}{\beta-\theta}\right)^2} \qquad(\theta<\beta). \end{aligned}$$

(2)

$X$ は形状 $2$、率 $\beta$ の Gamma 分布なので

$$\boxed{E[X]=\frac2\beta,\qquad V[X]=\frac2{\beta^2}}.$$

(3)

対数尤度は定数項を除いて

$$\ell(\beta)=2n\log\beta-\beta\sum_{i=1}^nx_i.$$

したがって

$$\ell'(\beta)=\frac{2n}{\beta}-\sum_{i=1}^nx_i=0$$

より

$$\boxed{\hat\beta=\frac{2n}{\sum_{i=1}^nx_i}}.$$

(4)

畳み込みにより、$z>0$ に対して

$$\begin{aligned} f_Z(z) &=\int_0^z\beta^2xe^{-\beta x}\, \beta e^{-\beta(z-x)}\,dx\\ &=\boxed{\frac{\beta^3z^2}{2}e^{-\beta z}}. \end{aligned}$$

$z\le0$ では $f_Z(z)=0$ である。

(5)

$Z$ は形状 $3$、率 $1$ の Gamma 分布なので

$$\begin{aligned} P(Z\ge2) &=e^{-2}\left(1+2+\frac{2^2}{2}\right)\\ &=\frac5{2.7^2} \doteq\boxed{0.69}. \end{aligned}$$