電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2021年8月実施 必須問題 微分積分

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

(1)

$$f(x,y)=3x^2-12xy+y^3+6y^2-15y-3$$

とし、$f(x,y)=0$ が定める曲線を $C$ とする。

1. $f$ の極値をすべて求めよ。
2. $C$ 上の点 $(1,3)$ における接線を求めよ。

(2)

次の重積分を求めよ。

$$I_1=\iint_{D_1}\frac{dx\,dy}{5-\sqrt{x^2+y^2}},\qquad D_1=\{(x,y)\mid1\le x^2+y^2\le16\},$$

$$I_2=\iint_{D_2}(x^2-y^2)^2\,dx\,dy,\qquad D_2=\{(x,y)\mid2\le x+y\le3,\ -1\le x-y\le1\},$$

$$I_3=\iint_{D_3}\cos\!\left(\frac\pi2y^2\right)dx\,dy,\qquad D_3=\{(x,y)\mid0\le x\le1,\ x\le y\le1\}.$$

题目描述

求二元多项式的全部极值及其零水平曲线在指定点的切线，并分别用极坐标、线性换元和积分次序交换计算三个二重积分。

Kai

(1)

(i)

$$f_x=6x-12y,\qquad f_y=-12x+3y^2+12y-15.$$

$f_x=f_y=0$ より停留点は $(10,5),(-2,-1)$ である。Hesse 行列は

$$H=\begin{pmatrix}6&-12\\-12&6y+12\end{pmatrix}.$$

$(10,5)$ では $\det H=108>0$ かつ $f_{xx}=6>0$ なので極小点であり、$f(10,5)=-103$ である。$(-2,-1)$ では $\det H=-108<0$ なので鞍点である。したがって

$$\boxed{(10,5)\text{ で極小値 }-103}$$

のみをもつ。

(ii)

$$f_x(1,3)=-30,\qquad f_y(1,3)=36.$$

よって接線は

$$-30(x-1)+36(y-3)=0,$$

すなわち

$$\boxed{5x-6y+13=0}.$$

(2)

(i)

極座標を用いると

$$\begin{aligned} I_1 &=2\pi\int_1^4\frac{r}{5-r}\,dr\\ &=\boxed{2\pi(5\log4-3)}. \end{aligned}$$

(ii)

$u=x+y, v=x-y$ とおくと $x^2-y^2=uv$、$dx\,dy=\frac12du\,dv$ である。したがって

$$\begin{aligned} I_2 &=\frac12\int_2^3u^2\,du\int_{-1}^1v^2\,dv\\ &=\boxed{\frac{19}{9}}. \end{aligned}$$

(iii)

積分順序を交換すると $0\le y\le1, 0\le x\le y$ なので

$$\begin{aligned} I_3 &=\int_0^1y\cos\!\left(\frac\pi2y^2\right)dy\\ &=\boxed{\frac1\pi}. \end{aligned}$$