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電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2021年8月実施 必須問題 線形代数

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

A=(1202−12021)A=\begin{pmatrix} 1&2&0\\ 2&-1&2\\ 0&2&1 \end{pmatrix}

とし、EE を単位行列、OO を零行列とする。

  1. AA の固有値をすべて求め、最大固有値の固有ベクトルを求めよ。
  2. aA2+bA+cE=OaA^2+bA+cE=O ならば a=b=c=0a=b=c=0 であることを示せ。
  3. A3+sA2+tA+uE=OA^3+sA^2+tA+uE=O を満たす s,t,us,t,u を求めよ。
  4. A5−4A4+3A3A^5-4A^4+3A^3 を求めよ。
  5. f(x)=(A5−4A4+3A3)xf(\boldsymbol x)=(A^5-4A^4+3A^3)\boldsymbol x と定める。dim⁡Im⁡f\dim\operatorname{Im}f と Im⁡f\operatorname{Im}f の基底を求めよ。

题目描述​

给定一个三阶实对称矩阵，求其特征值和特征向量，证明 E,A,A2E,A,A^2 线性无关，利用特征多项式求矩阵多项式，并确定相应线性映射的像空间。

Kai​

(1)​

det⁡(λE−A)=λ3−λ2−9λ+9=(λ+3)(λ−1)(λ−3).\begin{aligned} \det(\lambda E-A) &=\lambda^3-\lambda^2-9\lambda+9\\ &=(\lambda+3)(\lambda-1)(\lambda-3). \end{aligned}

したがって固有値は

−3,1,3.\boxed{-3, 1, 3}.

最大固有値 33 に対して、例えば

(111)\boxed{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}

が固有ベクトルである。

(2)​

固有値 λ=−3,1,3\lambda=-3,1,3 に対応する固有ベクトルへ

aA2+bA+cE=OaA^2+bA+cE=O

を作用させると、二次式 aλ2+bλ+ca\lambda^2+b\lambda+c は相異なる 3 点 −3,1,3-3,1,3 で零となる。よってこの二次式は恒等的に零であり、

a=b=c=0.\boxed{a=b=c=0}.

(3)​

Cayley-Hamilton の定理より

A3−A2−9A+9E=O.A^3-A^2-9A+9E=O.

ゆえに

s=−1,t=−9,u=9.\boxed{s=-1,\qquad t=-9,\qquad u=9}.

(4)​

直接計算すると

A5−4A4+3A3=(−108216−108216−432216−108216−108).\boxed{ A^5-4A^4+3A^3= \begin{pmatrix} -108&216&-108\\ 216&-432&216\\ -108&216&-108 \end{pmatrix}}.

(5)​

(4) の行列の各列は (1−21)T\begin{pmatrix}1&-2&1\end{pmatrix}^{\mathsf T} の定数倍であり、零行列ではない。したがって

dim⁡Im⁡f=1,\boxed{\dim\operatorname{Im}f=1},

基底の一つは

{(1−21)}.\boxed{\left\{\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\right\}}.
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