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東京農工大学 工学府 2022年9月実施 機械システム工学専攻 専門科目 [4]

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

質量 mm の理想気体が、次の四つの可逆過程からなるサイクルを行う。

  • A：状態1から状態2への断熱圧縮（体積 V1→V2V_1\to V_2）。
  • B：状態2から状態3への等積加熱。
  • C：状態3から状態4への断熱膨張（体積 V2→V1V_2\to V_1）。
  • D：状態4から状態1への等積冷却。

圧縮比を ε=V1/V2\varepsilon=V_1/V_2 とし、各状態の絶対温度を T1,T2,T3,T4T_1,T_2,T_3,T_4 とする。定積比熱 cvc_v および比熱比 γ\gamma は温度によらず一定とし、1<γ<21<\gamma<2 とする。以下の問に答えよ。

[1] 過程 B で気体が受け取る熱量 QBQ_B を、m,cv,T1,T3,ε,γm,c_v,T_1,T_3,\varepsilon,\gamma を用いて表せ。

[2] 過程 D で気体が失う熱量 QDQ_D を、同じ記号を用いて表せ。

[3] 1サイクルで気体が外部にする仕事 WW を、同じ記号を用いて表せ。

[4] T1,T3T_1,T_3 を固定したとき、WW が最大となる ε\varepsilon を、T1,T3,γT_1,T_3,\gamma を用いて表せ。

[5] [4] の場合の T2,T4T_2,T_4 を、T1,T3T_1,T_3 を用いて表せ。

题目描述​

质量为 mm 的理想气体依次经历四个可逆过程：A，状态1至2绝热压缩，体积 V1→V2V_1\to V_2；B，状态2至3等容加热；C，状态3至4绝热膨胀，体积 V2→V1V_2\to V_1；D，状态4至1等容冷却。令压缩比 ε=V1/V2\varepsilon=V_1/V_2，四个状态的绝对温度为 T1,T2,T3,T4T_1,T_2,T_3,T_4，定容比热 cvc_v 和比热比 1<γ<21<\gamma<2 均为常数。

  1. 用 m,cv,T1,T3,ε,γm,c_v,T_1,T_3,\varepsilon,\gamma 表示 B 过程的吸热量 QBQ_B。
  2. 用相同变量表示 D 过程的放热量 QDQ_D。
  3. 用相同变量表示一周循环对外做的功 WW。
  4. 固定 T1,T3T_1,T_3，求使 WW 最大的压缩比。
  5. 求此时的 T2,T4T_2,T_4。

Kai​

[1]​

可逆断熱過程では TVγ−1TV^{\gamma-1} が一定なので、

T2=T1εγ−1.T_2=T_1\varepsilon^{\gamma-1}.

B は等積過程で仕事がなく、吸熱量は内部エネルギーの増分に等しい。

QB=mcv(T3−T1εγ−1).\boxed{Q_B=mc_v(T_3-T_1\varepsilon^{\gamma-1})}.

[2]​

C の断熱条件から T4=T3ε1−γT_4=T_3\varepsilon^{1-\gamma} である。QDQ_D を放出する熱量の正の大きさとして、

QD=mcv(T3ε1−γ−T1).\boxed{Q_D=mc_v(T_3\varepsilon^{1-\gamma}-T_1)}.

[3]​

1サイクルで内部エネルギーは元に戻るから、

W=QB−QD=mcv{T3(1−ε1−γ)+T1(1−εγ−1)}.\boxed{W=Q_B-Q_D=mc_v\{T_3(1-\varepsilon^{1-\gamma})+T_1(1-\varepsilon^{\gamma-1})\}}.

[4]​

u=εγ−1u=\varepsilon^{\gamma-1} とおく。加熱・冷却を伴う機関では T3>T1T_3>T_1、1<u<T3/T11<u<T_3/T_1 であり、

Wmcv=T1+T3−T1u−T3u.\frac{W}{mc_v}=T_1+T_3-T_1u-\frac{T_3}{u}.

相加相乗平均の不等式より T1u+T3/u≥2T1T3T_1u+T_3/u\ge2\sqrt{T_1T_3}。等号条件 T1u=T3/uT_1u=T_3/u で最大となるので、

εmax⁡=(T3T1)1/[2(γ−1)].\boxed{\varepsilon_{\max}=\left(\frac{T_3}{T_1}\right)^{1/[2(\gamma-1)]}}.

この値は上の機関動作範囲内にあり、最大仕事は mcv(T3−T1)2mc_v(\sqrt{T_3}-\sqrt{T_1})^2 である。

[5]​

u=T3/T1u=\sqrt{T_3/T_1} を断熱関係に代入すると、

T2=T4=T1T3.\boxed{T_2=T_4=\sqrt{T_1T_3}}.

Reference​

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