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東京農工大学 工学府 2022年9月実施 機械システム工学専攻 専門科目 [4]

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

理想気体を対象として，次の4つの可逆過程より構成されるオットーサイクルについて考える。ただし，mm は気体の質量 [kg][\mathrm{kg}]，VV は気体の体積 [m3][\mathrm{m^3}]，ε\varepsilon は圧縮比（≡V1/V2\equiv V_1/V_2），TT は気体の絶対温度 [K][\mathrm K]，cvc_v は気体の定積比熱 [J/(kg⋅K)][\mathrm{J/(kg\cdot K)}]，γ\gamma は 1<γ<21<\gamma<2 を満たす気体の比熱比 [−][-]，下付き数字は状態を表す（例えば V1V_1 は状態1での体積を示す）。また，m,cvm,c_v および γ\gamma は定数とする。以下の問いに答えよ。

  • 状態1→状態2の過程 A：断熱圧縮
  • 状態2→状態3の過程 B：等積加熱
  • 状態3→状態4の過程 C：断熱膨張
  • 状態4→状態1の過程 D：等積冷却

［1］過程 B において，気体が受け取る熱量 QB  (>0)Q_B\;(>0) を m,ε,T1,T3,cv,γm,\varepsilon,T_1,T_3,c_v,\gamma の中から必要な文字を用いて表せ。答えのみで良い。

［2］過程 D において，気体が失う熱量 QD  (>0)Q_D\;(>0) を m,ε,T1,T3,cv,γm,\varepsilon,T_1,T_3,c_v,\gamma の中から必要な文字を用いて表せ。答えのみで良い。

［3］本サイクルにおいて，気体が外部になす正味の仕事量 W  (>0)W\;(>0) を m,ε,T1,T3,cv,γm,\varepsilon,T_1,T_3,c_v,\gamma の中から必要な文字を用いて表せ。答えのみで良い。

［4］本サイクルにおいて，T1T_1 および T3T_3 が定数のとき，WW を最大にする圧縮比 ε\varepsilon を m,T1,T3,cv,γm,T_1,T_3,c_v,\gamma の中から必要な文字を用いて表せ。導出過程も示せ。

［5］［4］で求めた圧縮比 ε\varepsilon のとき，T2T_2 および T4T_4 を m,T1,T3,cv,γm,T_1,T_3,c_v,\gamma の中から必要な文字を用いて表せ。答えのみで良い。

题目描述​

考虑理想气体经历的奥托循环，该循环由以下四个可逆过程组成。mm 为气体质量 [kg][\mathrm{kg}]，VV 为体积 [m3][\mathrm{m^3}]，ε\varepsilon 为压缩比（≡V1/V2\equiv V_1/V_2），TT 为绝对温度 [K][\mathrm K]，cvc_v 为定容比热 [J/(kg⋅K)][\mathrm{J/(kg\cdot K)}]，γ\gamma 为满足 1<γ<21<\gamma<2 的比热比 [−][-]。下标数字表示状态，例如 V1V_1 表示状态1的体积。m,cv,γm,c_v,\gamma 均为常数。回答下列问题。

  • 状态1→状态2的过程 A：绝热压缩
  • 状态2→状态3的过程 B：等容加热
  • 状态3→状态4的过程 C：绝热膨胀
  • 状态4→状态1的过程 D：等容冷却

［1］从 m,ε,T1,T3,cv,γm,\varepsilon,T_1,T_3,c_v,\gamma 中选用必要的符号，表示过程 B 中气体吸收的热量 QB  (>0)Q_B\;(>0)。只需写出答案。

［2］从 m,ε,T1,T3,cv,γm,\varepsilon,T_1,T_3,c_v,\gamma 中选用必要的符号，表示过程 D 中气体放出的热量 QD  (>0)Q_D\;(>0)。只需写出答案。

［3］从 m,ε,T1,T3,cv,γm,\varepsilon,T_1,T_3,c_v,\gamma 中选用必要的符号，表示该循环中气体对外做的净功 W  (>0)W\;(>0)。只需写出答案。

［4］当 T1,T3T_1,T_3 固定时，从 m,T1,T3,cv,γm,T_1,T_3,c_v,\gamma 中选用必要的符号，表示使 WW 最大的压缩比 ε\varepsilon。须给出推导过程。

［5］采用［4］求得的压缩比 ε\varepsilon 时，从 m,T1,T3,cv,γm,T_1,T_3,c_v,\gamma 中选用必要的符号表示 T2,T4T_2,T_4。只需写出答案。

Kai​

[1]​

可逆断熱過程では TVγ−1TV^{\gamma-1} が一定なので、

T2=T1εγ−1.T_2=T_1\varepsilon^{\gamma-1}.

B は等積過程で仕事がなく、吸熱量は内部エネルギーの増分に等しい。

QB=mcv(T3−T1εγ−1).\boxed{Q_B=mc_v(T_3-T_1\varepsilon^{\gamma-1})}.

[2]​

C の断熱条件から T4=T3ε1−γT_4=T_3\varepsilon^{1-\gamma} である。QDQ_D を放出する熱量の正の大きさとして、

QD=mcv(T3ε1−γ−T1).\boxed{Q_D=mc_v(T_3\varepsilon^{1-\gamma}-T_1)}.

[3]​

1サイクルで内部エネルギーは元に戻るから、

W=QB−QD=mcv{T3(1−ε1−γ)+T1(1−εγ−1)}.\boxed{W=Q_B-Q_D=mc_v\{T_3(1-\varepsilon^{1-\gamma})+T_1(1-\varepsilon^{\gamma-1})\}}.

[4]​

u=εγ−1u=\varepsilon^{\gamma-1} とおく。加熱・冷却を伴う機関では T3>T1T_3>T_1、1<u<T3/T11<u<T_3/T_1 であり、

Wmcv=T1+T3−T1u−T3u.\frac{W}{mc_v}=T_1+T_3-T_1u-\frac{T_3}{u}.

相加相乗平均の不等式より T1u+T3/u≥2T1T3T_1u+T_3/u\ge2\sqrt{T_1T_3}。等号条件 T1u=T3/uT_1u=T_3/u で最大となるので、

εmax⁡=(T3T1)1/[2(γ−1)].\boxed{\varepsilon_{\max}=\left(\frac{T_3}{T_1}\right)^{1/[2(\gamma-1)]}}.

この値は上の機関動作範囲内にあり、最大仕事は mcv(T3−T1)2mc_v(\sqrt{T_3}-\sqrt{T_1})^2 である。

[5]​

u=T3/T1u=\sqrt{T_3/T_1} を断熱関係に代入すると、

T2=T4=T1T3.\boxed{T_2=T_4=\sqrt{T_1T_3}}.

Reference​

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