東京農工大学 工学府 機械システム工学専攻 2021年度 専門科目 2

标签：

• 东京农工大学
• 刚体转动与滚动
• 简谐运动
• PID 与 I-PD 控制

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2021年4月入学（2020年10月入学を含む）の問題。

水平面に対し $\alpha$ 傾く斜面に、半径 $a$、質量 $m$ の円柱を置く。中心軸 O は質量を無視できるばね定数 $k$ のばねで斜面上方の壁に支えられ、円柱は中心軸まわりに滑らかに回転できる。重心 O まわりの慣性モーメントは $I=ma^2/2$、斜面との接線上の点を P とする。重力加速度は $g$。

1. P を通る接線まわりの慣性モーメント $I_p$ を求めよ。以降、解答に $I,I_p$ が含まれる場合はそれらの式を代入せず、記号のまま用いること。
2. つり合い位置を原点に、斜面下向き（左下）を $x$ の正方向、反時計回りを回転角 $\theta$ の正方向に取る。滑らない場合の $x$ と $\theta$ の関係を示せ。
3. 初期変位を与えて静かに放し、滑らず転がりながら振動するとき、重心位置 $x$ の運動方程式を示せ。
4. (3) の固有角振動数 $\omega_n$ を示せ。
5. 中心軸に、ばねと同じ方向の力 $F$ を加えるアクチュエータを取り付ける。$F$ の正方向は $x$ の正方向とし、アクチュエータは力を加えるほか運動を拘束しない。初期値をゼロとし、$F$ から $x$ への伝達関数をラプラス演算子 $s$ で求めよ。
6. $x=x_1$ を目標として $F=-k_1(x-x_1)-k_2\dot x$ で制御する。制御系の減衰比と固有角振動数を求めよ。
7. ばねを外す。摩擦がなく回転せず滑り落ちる場合の加速度は、滑らず転がり落ちる場合の何倍か。

题目描述

质量 $m$、半径 $a$ 的圆柱置于倾角 $\alpha$ 的斜面上，中心轴由沿斜面的弹簧 $k$ 连至上方固定壁，圆柱可绕中心轴转动，$I=ma^2/2$，接触点 P，重力加速度 $g$。① 求接触线轴的转动惯量 $I_p$；后续保留符号 $I,I_p$。② 平衡处为零，沿斜面向下为 $x$ 正向、逆时针为 $\theta$ 正向，求无滑动关系。③ 求纯滚动振动方程。④ 求固有角频率。⑤ 在中心轴沿斜面加执行器力 $F$，求零初值下 $X(s)/F(s)$。⑥ 采用 $F=-k_1(x-x_1)-k_2\dot x$ 时求阻尼比和固有角频率。⑦ 去掉弹簧，比较无摩擦滑动与无滑动滚动的下落加速度之比。

Kai

(1)・(2)

平行軸の定理と転がり条件より

$$\boxed{I_p=I+ma^2},\qquad\boxed{x=a\theta}.$$

(3)・(4)

静的なばね伸びを $\delta_0$ とすると $k\delta_0=mg\sin\alpha$。接点まわりのモーメントから

$$I_p\ddot\theta=a\{mg\sin\alpha-k(\delta_0+x)\}=-kax.$$

よって

$$\boxed{\frac{I_p}{a^2}\ddot x+kx=0},\qquad \boxed{\omega_n=a\sqrt{\frac{k}{I_p}}}.$$

(5)

運動方程式は $(I_p/a^2)\ddot x+kx=F$。初期値ゼロでラプラス変換して

$$\boxed{\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{a^2}{I_ps^2+ka^2}}.$$

(6)

制御則を代入すると

$$\frac{I_p}{a^2}\ddot x+k_2\dot x+(k+k_1)x=k_1x_1.$$

$k+k_1>0$ として標準的な二次系の形と比較すれば

$$\boxed{\omega_n=a\sqrt{\frac{k+k_1}{I_p}},\qquad \zeta=\frac{ak_2}{2\sqrt{I_p(k+k_1)}}}.$$

(7)

滑る場合は $\ddot x_{\mathrm{slide}}=g\sin\alpha$、転がる場合は $I_p\ddot\theta=mga\sin\alpha$ より $\ddot x_{\mathrm{roll}}=(ma^2/I_p)g\sin\alpha$。したがって

$$\boxed{\frac{\ddot x_{\mathrm{slide}}}{\ddot x_{\mathrm{roll}}} =\frac{I_p}{ma^2}=1+\frac{I}{ma^2}}.$$

Reference

• 東京農工大学 令和3年度 公式問題・専門科目（公開アーカイブ、PDF 3ページ）