東京農工大学 工学府 機械システム工学専攻 2021年度 専門科目 1

标签：

• 东京农工大学
• 扭转

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2021年4月入学（2020年10月入学を含む）の問題。

モータと滑車は交換可能な伝動軸で連結され、軸は滑車に回転力のみを伝える。滑車に巻いたワイヤの他端にはおもりがつるされ、おもりを巻き上げると軸にねじりトルク $T$ が作用する。

二種類の軸 A、B は同じせん断弾性係数 $G$、許容せん断応力 $\tau_a$ を持つ。A は長さ $l_A$、最小外径 $d_A$ の中実丸棒。B は長さ $l_B$、最小外径 $d_B$、内径 $0.5d_B$ の中空丸棒である。直径 $d$ の中実丸棒の断面二次極モーメントが $\pi d^4/32$ であることを用いてよい。次の問いに導出過程も含めて答えよ。

1. A の極断面係数を $d_A,G,T,\pi$ の中から必要な記号を用いて表せ。
2. $d_A$ を $\tau_a,G,T,\pi$ の中から必要な記号を用いて表せ。
3. $d_B$ を $d_A$ で表せ。
4. 同じ $T$ の下で A、B のねじれ角が等しいとき、$l_A$ を $d_A,d_B,l_B$ をすべて用いて表せ。
5. A が毎分2400回転し300 kWの動力を伝えるとき、必要な $d_A$ を有効数字3桁で求めよ。$\tau_a=60$ MPa とし、$\sqrt[3]{1/\pi^2}\simeq0.466$ を用いてよい。

题目描述

电机通过只传递转矩的轴带动滑轮吊起重物，轴承受扭矩 $T$。实心圆轴 A 长 $l_A$、最小外径 $d_A$；空心圆轴 B 长 $l_B$、最小外径 $d_B$、内径 $0.5d_B$。二者的剪切模量 $G$、许用剪应力 $\tau_a$ 相同，实心圆截面的极惯性矩为 $\pi d^4/32$。① 求 A 的抗扭截面系数。② 求 $d_A$。③ 以 $d_A$ 表示 $d_B$。④ 同扭矩下扭转角相等时，用全部 $d_A,d_B,l_B$ 表示 $l_A$。⑤ 转速2400 rpm、功率300 kW、许用应力60 MPa，求最小轴径，取3位有效数字。

Kai

(1)

$$\boxed{Z_{pA}=\frac{I_{pA}}{d_A/2}=\frac{\pi d_A^3}{16}}.$$

(2)

$\tau_{\max}=T/Z_{pA}\le\tau_a$ より

$$\boxed{d_A=\left(\frac{16T}{\pi\tau_a}\right)^{1/3}}.$$

(3)

$$I_{pB}=\frac\pi{32}\{d_B^4-(0.5d_B)^4\} =\frac{15}{16}\frac{\pi d_B^4}{32},\qquad Z_{pB}=\frac{15}{16}\frac{\pi d_B^3}{16}.$$

両軸で $T/Z_p=\tau_a$ となる最小外径を比べると

$$\boxed{d_B=\left(\frac{16}{15}\right)^{1/3}d_A}.$$

(4)

$\varphi=Tl/(GI_p)$ と $\varphi_A=\varphi_B$ より

$$\boxed{l_A=\frac{I_{pA}}{I_{pB}}l_B =\frac{16d_A^4}{15d_B^4}l_B}.$$

(5)

$$\omega=2\pi\frac{2400}{60}=80\pi\ \mathrm{rad/s},\qquad T=\frac{300\times10^3}{80\pi}=\frac{3750}{\pi}\ \mathrm{N\,m}.$$

したがって

$$\boxed{d_A=\left(\frac1{1000\pi^2}\right)^{1/3}\mathrm m =46.6\ \mathrm{mm}}.$$

Reference

• 東京農工大学 令和3年度 公式問題・専門科目（公開アーカイブ、PDF 2ページ）