東京農工大学 工学府 機械システム工学専攻 2020年8月実施 専門科目 4

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• 东京农工大学
• 斯特林循环
• 卡诺循环与热机效率

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

図4–1に示す温度 $T$（縦軸）－比エントロピー $s$（横軸）の線図のサイクルについて考える。ここで図中の数字 (1,2,3,4) は各状態を表し，$1\to2$ は等温圧縮過程，$2\to3$ は等積加熱過程，$3\to4$ は等温膨張過程，$4\to1$ は等積冷却過程である。このサイクルの作動流体は理想気体であり，それぞれの過程で準静的変化をするものとする。作動流体の定積比熱 $c_v\ [\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$，気体定数 $R\ [\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$，状態1，3の温度 $T_1,T_3\ [\mathrm K]$，状態1，2の比体積 $v_1,v_2\ [\mathrm{m^3/kg}]$ の中から必要なものを用いて以下の問いに答えよ。なお小問 (2)，(5)a で使用する記号についてはそれぞれの指示を優先すること。また，解答用紙には解答のみを示すこと。

(1) このサイクルの圧力 $P$－比体積 $v$ の線図を描け。各頂点には状態の番号1～4も示すこと。

(2) このサイクルが外部にすることができる作動流体単位質量当たりの仕事 $w\ [\mathrm{J/kg}]$ を求めよ。なお，$1\to2$ と $4\to1$ の作動流体単位質量当たりの放熱量 $q_{12}$ および $q_{41}\ [\mathrm{J/kg}]$ と，$2\to3$ と $3\to4$ の作動流体単位質量当たりの吸熱量 $q_{23}$ および $q_{34}\ [\mathrm{J/kg}]$ のみを用いること。

(3) $2\to3$ および $4\to1$ の各過程における作動流体単位質量当たりの吸熱量 $q_{23}$ および放熱量 $q_{41}$ を求めよ。ただし解答には $c_v,R,T_1,T_3,v_1,v_2$ から必要なものを用いよ。

(4) $1\to2$ および $3\to4$ の各過程における作動流体単位質量当たりの放熱量 $q_{12}$ および吸熱量 $q_{34}$ を求めよ。ただし解答には $c_v,R,T_1,T_3,v_1,v_2$ から必要なものを用いよ。

(5) 等積過程での放熱量 $q_{41}$ を吸熱量 $q_{23}$ に全て再利用可能である場合を考える。

• a. $q_{12},q_{23},q_{34}$ および $w$ から必要なものを用いてこのサイクルの熱効率 $\eta\ [-]$ を答えよ。
• b. $q_{12},q_{23},q_{34},q_{41}$ および $w$ を用いずに熱効率 $\eta$ を答えよ。
• c. このサイクルの熱効率 $\eta$ と，同じ $T_3,T_1$ を課した際のカルノーサイクルの熱効率 $\eta_c\ [-]$ の大小関係を述べよ。

题目描述

考虑图4–1中以温度 $T$ 为纵轴、比熵 $s$ 为横轴表示的循环。数字 (1,2,3,4) 表示各状态：$1\to2$ 为等温压缩，$2\to3$ 为等容加热，$3\to4$ 为等温膨胀，$4\to1$ 为等容冷却。工质为理想气体，各过程均为准静态变化。从工质定容比热 $c_v\ [\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$、气体常数 $R\ [\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$、状态1和3的温度 $T_1,T_3\ [\mathrm K]$、状态1和2的比体积 $v_1,v_2\ [\mathrm{m^3/kg}]$ 中选用必要的量回答下列问题。小问 (2)、(5)a 所用符号优先遵循各自的要求。答题纸上只需写出答案。

(1) 画出该循环的压力 $P$－比体积 $v$ 图，并在各顶点标明状态编号1～4。

(2) 求该循环中单位质量工质能够对外输出的功 $w\ [\mathrm{J/kg}]$。只使用单位质量工质在 $1\to2$、$4\to1$ 中的放热量 $q_{12},q_{41}\ [\mathrm{J/kg}]$，以及在 $2\to3$、$3\to4$ 中的吸热量 $q_{23},q_{34}\ [\mathrm{J/kg}]$。

(3) 求单位质量工质在 $2\to3$、$4\to1$ 中的吸热量 $q_{23}$ 和放热量 $q_{41}$。答案从 $c_v,R,T_1,T_3,v_1,v_2$ 中选用必要的量。

(4) 求单位质量工质在 $1\to2$、$3\to4$ 中的放热量 $q_{12}$ 和吸热量 $q_{34}$。答案从 $c_v,R,T_1,T_3,v_1,v_2$ 中选用必要的量。

(5) 考虑等容过程的放热量 $q_{41}$ 可全部用于提供吸热量 $q_{23}$ 的情况。

• a. 从 $q_{12},q_{23},q_{34},w$ 中选用必要的量，给出该循环的热效率 $\eta\ [-]$。
• b. 不使用 $q_{12},q_{23},q_{34},q_{41},w$，给出热效率 $\eta$。
• c. 比较该循环热效率 $\eta$ 与采用相同温度 $T_3,T_1$ 的卡诺循环热效率 $\eta_c\ [-]$ 的大小。

Kai

(1)

$v_3=v_2,v_4=v_1$。等温線 $P=RT/v$ 二本と等積線 $v=v_1,v_2$ 二本で囲まれた、時計回りのサイクルとなる。

(2)

一周期の内部エネルギー変化はゼロなので

$$\boxed{w=q_{23}+q_{34}-q_{12}-q_{41}}.$$

(3)

等積過程では境界仕事がゼロであり、熱量の正の大きさを用いると

$$\boxed{q_{23}=q_{41}=c_v(T_3-T_1)}.$$

(4)

理想気体の等温過程では内部エネルギー一定より $q=\int P\,dv$。したがって

$$\boxed{q_{12}=RT_1\log\frac{v_1}{v_2},\qquad q_{34}=RT_3\log\frac{v_1}{v_2}}.$$

(5)

等積過程の熱は内部で再生されるため、外部からの吸熱は $q_{34}$ のみである。

$$\text{a.}\quad\boxed{\eta=\frac{w}{q_{34}}=1-\frac{q_{12}}{q_{34}}},$$

$$\text{b.}\quad\boxed{\eta=1-\frac{T_1}{T_3}},\qquad \text{c.}\quad\boxed{\eta=\eta_C}.$$

Reference

• 東京農工大学 令和3年度 公式問題・専門科目（公開アーカイブ、PDF 5ページ）