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東京農工大学 工学府 機械システム工学専攻 2020年8月実施 専門科目 3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

図3–1のような断面積が SS である容器に，高さ HH まで水を入れる。時刻 00 において容器の下面に断面積 S0S_0 の小さな穴をあける。このとき，穴の大きさは容器の断面積に比べて十分小さいとし，また摩擦などによる損失を無視でき，水の流れにはベルヌーイの式が成り立つとして，以下の問いに答えよ。ただし大気圧はいたるところ一定とし，重力加速度は gg と書くこととする。

図3–1 容器底面の小孔からの流出

［1］時刻 00 において，穴からの水が流れ出る速度を求めよ。

［2］容器内の水がすべて流れ去るまでにかかる時間を求めよ。

次に図3–2のような2つの同じサイズの容器 A，B が U 字管でつながれている状況を考える。ここで容器 A および B の断面積は SS であり，U 字管の直線部における断面積は S0S_0 であるとする。この系内部に密度 ρ1\rho_1 および ρ2\rho_2 の2種類の液体を封入し，容器 A，B にそれぞれ圧力 PA,PBP_A,P_B のガスを注入している。ただし2種類の液体については ρ1<ρ2\rho_1<\rho_2 で互いに交じり合わず，密度 ρ2\rho_2 の液体については U 字管内部のみに存在していると仮定する。

図3–2 二液を封入した容器とU字管

［3］図中の高さの差 hh をもう一つの高さの差 HH および2つの断面積 S,S0S,S_0 を用いて表せ。ただし，PA=PBP_A=P_B のとき h=H=0h=H=0 であるとする。

［4］系の左右での圧力の釣り合いを考えることにより，高さの差 HH を hh を用いずに求めよ。なお，解答には S,S0,ρ1,ρ2,PA,PBS,S_0,\rho_1,\rho_2,P_A,P_B のうちから必要な記号を用いよ。

题目描述​

如图3–1，向截面积为 SS 的容器中装水至高度 HH。时刻 00，在容器底面开一个截面积为 S0S_0 的小孔。小孔面积与容器截面积相比足够小，摩擦等损失可忽略，水流满足伯努利方程。回答下列问题。大气压处处相同，重力加速度记为 gg。

［1］求时刻 00 水从小孔流出的速度。

［2］求容器内的水全部流出所需的时间。

再考虑图3–2中两个相同尺寸的容器 A、B 由 U 形管连接的情况。两容器的截面积均为 SS，U 形管直线部分的截面积为 S0S_0。系统中封入密度分别为 ρ1,ρ2\rho_1,\rho_2 的两种液体，向容器 A、B 中分别注入压强为 PA,PBP_A,P_B 的气体。假定两液体满足 ρ1<ρ2\rho_1<\rho_2 且互不相混，密度为 ρ2\rho_2 的液体只存在于 U 形管内部。

［3］用图中另一个高度差 HH 以及截面积 S,S0S,S_0 表示高度差 hh。规定 PA=PBP_A=P_B 时 h=H=0h=H=0。

［4］考虑系统左右两侧的压力平衡，不使用 hh，求高度差 HH。答案从 S,S0,ρ1,ρ2,PA,PBS,S_0,\rho_1,\rho_2,P_A,P_B 中选用必要的符号。

Kai​

(1)​

自由表面の速度を無視し、自由表面と孔の出口のベルヌーイの式より

v0=2gH.\boxed{v_0=\sqrt{2gH}}.

(2)​

水位を z(t)z(t) とすると

−Sdzdt=S02gz.-S\frac{dz}{dt}=S_0\sqrt{2gz}.

z(0)=H,z(te)=0z(0)=H,z(t_e)=0 を用いて積分すれば

2H=S0S2g te,te=SS02Hg.2\sqrt H=\frac{S_0}{S}\sqrt{2g}\,t_e,\qquad \boxed{t_e=\frac{S}{S_0}\sqrt{\frac{2H}{g}}}.

(3)​

重液の左界面が δ\delta 下がれば、右界面は δ\delta 上がり H=2δH=2\delta。各側の軽液の体積保存から自由液面の変化は S0δ/SS_0\delta/S ずつなので

h=S0SH.\boxed{h=\frac{S_0}{S}H}.

(4)​

左の自由液面から左界面までの深さを LL とする。同じ重液内の同一高さで圧力を等置すると

PA+ρ1gL=PB+ρ1g(L+h−H)+ρ2gH.P_A+\rho_1gL=P_B+\rho_1g(L+h-H)+\rho_2gH.

したがって PA−PB=ρ1gh+(ρ2−ρ1)gHP_A-P_B=\rho_1gh+(\rho_2-\rho_1)gH。(3) を代入して

H=S(PA−PB)g{S(ρ2−ρ1)+S0ρ1}.\boxed{H=\frac{S(P_A-P_B)}{g\{S(\rho_2-\rho_1)+S_0\rho_1\}}}.

Reference​

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