東京農工大学 工学府 機械システム工学専攻 2020年8月実施 専門科目 1

标签：

• 东京农工大学
• 扭转

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

図1–1に示すように，ワイヤの一端が滑車に固定して巻き付けられており，他端におもりが吊り下げられている。滑車とモータは交換可能な伝動軸で連結され，伝動軸は滑車に回転力のみ伝えることができる。モータが回転してワイヤが巻き上げられたとき，伝動軸にはおもりによってねじりトルク $T$ が負荷される。伝動軸には2種類の丸棒があり，共に材料のせん断弾性係数は $G$，許容せん断応力は $\tau_a$ で，一方の中実丸棒 A の長さは $l_A$ で最小の外径は $d_A$，他方の中空丸棒 B の長さは $l_B$ で最小の外径は $d_B$，内径は $0.5d_B$ である。円周率を $\pi$ として，以下の問いに導出過程も含めて答えよ。なお必要であれば，直径 $d$ の中実丸棒の断面二次極モーメントが $\pi d^4/32$ で与えられることを利用しても良い。

(1) 中実丸棒 A の極断面係数を，$d_A,G,T,\pi$ の中から必要な記号を用いて表せ。

(2) 中実丸棒 A の最小の外径 $d_A$ を，$\tau_a,G,T,\pi$ の中から必要な記号を用いて表せ。

(3) 中空丸棒 B の最小の外径 $d_B$ を，中実丸棒 A の外径 $d_A$ を用いて表せ。

(4) 同じねじりトルク $T$ が負荷された中実丸棒 A と中空丸棒 B のそれぞれのねじれ角が等しいとき，中実丸棒 A の長さ $l_A$ を $d_A,d_B,l_B$ を全て用いて表せ。

(5) 中実丸棒 A が毎分 $2400$ 回転して $300\ \mathrm{kW}$ の動力を伝達するため必要な最小の外径 $d_A$ を有効数字3桁で求めよ。ただし，許容せん断応力 $\tau_a$ を $60\ \mathrm{MPa}$ とし，$\sqrt[3]{1/\pi^2}$ の近似値が $0.466$ であることを利用しても良い。

题目描述

如图1–1，钢丝的一端固定并缠绕在滑轮上，另一端悬挂重物。滑轮和电动机通过可更换的传动轴连接，传动轴只能向滑轮传递转动力。电动机转动收卷钢丝时，重物使传动轴承受扭矩 $T$。有两种圆杆可用作传动轴，材料的剪切模量均为 $G$，许用剪应力均为 $\tau_a$。实心圆杆 A 长 $l_A$，最小外径为 $d_A$；空心圆杆 B 长 $l_B$，最小外径为 $d_B$，内径为 $0.5d_B$。圆周率记为 $\pi$，回答下列问题并给出推导过程。必要时可使用直径为 $d$ 的实心圆杆的截面极惯性矩为 $\pi d^4/32$。

(1) 从 $d_A,G,T,\pi$ 中选用必要符号，表示实心圆杆 A 的抗扭截面系数。

(2) 从 $\tau_a,G,T,\pi$ 中选用必要符号，表示实心圆杆 A 的最小外径 $d_A$。

(3) 用实心圆杆 A 的外径 $d_A$ 表示空心圆杆 B 的最小外径 $d_B$。

(4) 两圆杆承受相同扭矩 $T$，且扭转角相等。使用全部符号 $d_A,d_B,l_B$ 表示实心圆杆 A 的长度 $l_A$。

(5) 实心圆杆 A 以每分钟 $2400$ 转传递 $300\ \mathrm{kW}$ 功率，求所需最小外径 $d_A$，保留3位有效数字。许用剪应力 $\tau_a=60\ \mathrm{MPa}$，可使用近似值 $\sqrt[3]{1/\pi^2}\simeq0.466$。

Kai

(1)

$$\boxed{Z_{pA}=\frac{I_{pA}}{d_A/2}=\frac{\pi d_A^3}{16}}.$$

(2)

$\tau_{\max}=T/Z_{pA}\le\tau_a$ より

$$\boxed{d_A=\left(\frac{16T}{\pi\tau_a}\right)^{1/3}}.$$

(3)

$$I_{pB}=\frac\pi{32}\{d_B^4-(0.5d_B)^4\} =\frac{15}{16}\frac{\pi d_B^4}{32},\qquad Z_{pB}=\frac{15}{16}\frac{\pi d_B^3}{16}.$$

両軸で $T/Z_p=\tau_a$ となる最小外径を比べると

$$\boxed{d_B=\left(\frac{16}{15}\right)^{1/3}d_A}.$$

(4)

$\varphi=Tl/(GI_p)$ と $\varphi_A=\varphi_B$ より

$$\boxed{l_A=\frac{I_{pA}}{I_{pB}}l_B =\frac{16d_A^4}{15d_B^4}l_B}.$$

(5)

$$\omega=2\pi\frac{2400}{60}=80\pi\ \mathrm{rad/s},\qquad T=\frac{300\times10^3}{80\pi}=\frac{3750}{\pi}\ \mathrm{N\,m}.$$

したがって

$$\boxed{d_A=\left(\frac1{1000\pi^2}\right)^{1/3}\mathrm m =46.6\ \mathrm{mm}}.$$

Reference

• 東京農工大学 令和3年度 公式問題・専門科目（公開アーカイブ、PDF 2ページ）