東京農工大学 工学府 共通 2024年8月実施 数学 4

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Author

祭音Myyura

Description

次の微分方程式の解 $y=y(x)$ で，$y(0)=\dfrac{dy}{dx}(0)=1$ を満たすものを求めなさい。

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+5y=\cos^{2}x-\frac12$$

题目描述

求二阶常微分方程

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+5y=\cos^{2}x-\frac12$$

在初始条件

$$y(0)=1,\qquad \frac{dy}{dx}(0)=1$$

下的解 $y=y(x)$。

考点

• 二阶常系数非齐次线性微分方程：求齐次通解，并针对右端三角函数构造特解。
• 初值问题：将 $y(0)$ 与 $y'(0)$ 代入通解，唯一确定积分常数。

Kai

与えられた微分方程式を斉次にした

$$y''+5y=0$$

の一般解は

$$y_h=C_{1}\cos(\sqrt5 x)+C_{2}\sin(\sqrt5 x).$$

である。また与えられた微分方程式の右辺を変換すると、次のように書ける

$$y''+5y=\frac12\cos2x.$$

特殊解を求めるために

$$y_p=A\cos2x+B\sin2x$$

を代入して，

$$\left(A-\frac{1}{2} \right) \cos 2x + B \sin 2x = 0$$

が分かって、

$$A=\frac12,\quad B=0.$$

を得る、よって

$$y_p=\frac12 \cos 2x.$$

以上より、与えられた微分方程式の一般解は

$$y(x)=C_{1}\cos(\sqrt5 x)+C_{2}\sin(\sqrt5 x)+\frac12\cos2x.$$

である。

まず

$$y(0)=C_{1}+ \frac12=1\ \Longrightarrow\ C_{1}=\frac12.$$

次に

$$y'(x)=-C_{1}\sqrt5\sin(\sqrt5x)+C_{2}\sqrt5\cos(\sqrt5x)-\sin2x,$$

したがって

$$y'(0)=C_{2}\sqrt5=1\ \Longrightarrow\ C_{2}=\frac1{\sqrt5}.$$

以上より求める解は

$$\boxed{y(x)=\frac12\cos(\sqrt5x)+\frac1{\sqrt5}\sin(\sqrt5x)+\frac12\cos2x}.$$