東京農工大学 工学府 共通 2024年8月実施 数学 3

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• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

祭音Myyura

Description

$s,t$ は実数とする。行列

$$A=\begin{pmatrix}1&-s\\ s-1&2s\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}t^{2}+1\\-st\end{pmatrix}$$

について，次の問いに答えなさい。

(1) 行列 $A$ の固有値をすべて求めなさい。

(2) $Av=3v$ を満たすような実数の組 $(s,t)$ をすべて求めなさい。

题目描述

设 $s,t$ 为实数，并给定

$$A=\begin{pmatrix}1&-s\\ s-1&2s\end{pmatrix}, \qquad v=\begin{pmatrix}t^{2}+1\\-st\end{pmatrix}.$$

回答下列问题：

1. 求矩阵 $A$ 的全部特征值。
2. 求所有使 $Av=3v$ 成立的实数组合 $(s,t)$。

考点

• 特征值与特征向量：由特征方程求含参数矩阵 $A$ 的特征值，并把 $Av=3v$ 转化为关于 $s,t$ 的方程组，完整筛选其全部实数解。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \det(A-\lambda I) &=\begin{vmatrix}1-\lambda&-s\\ s-1&2s-\lambda\end{vmatrix} =(1-\lambda)(2s-\lambda)+s(s-1) \\ &=(\lambda-s)(\lambda-(s+1)) \end{aligned}$$

よって固有値は

$$\lambda_{1}=s,\quad \lambda_{2}=s+1.$$

(2)

$v \neq 0$ なので，$v$ は $A$ の固有ベクトルであり，固有値 $3$ をもつ必要がある。 従って $s = 2$ または $s=3$ である。

$s=2$ とすると、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t^2+1 \\ -2t \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} t^2+1 \\ -2t \end{pmatrix} \end{aligned}$$

から $t=1$ を得る。

$s=3$ とすると、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t^2+1 \\ -3t \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} t^2+1 \\ -3t \end{pmatrix} \end{aligned}$$

から $t=(9 \pm \sqrt{65})/4$ を得る。

したがって

$$\begin{aligned} (s,t) = (2, 1) , \left( 3, \frac{9 \pm \sqrt{65}}{4} \right) \end{aligned}$$

が条件を満たす。