東京農工大学 工学府 共通 2024年8月実施 数学 2

标签：

• Tokyo-University-of-Agriculture-and-Technology
• Double-Integral
• Polar-Coordinates

Author

祭音Myyura

Description

領域

$$D=\{(x,y)\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le e^{2}\}$$

における次の重積分の値を求めなさい。

$$\iint_{D} \log\bigl(x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}\bigr)\,dx\,dy$$

ただし，$e$ は自然対数の底とする。

题目描述

设环形区域

$$D=\{(x,y)\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le e^{2}\},$$

其中 $e$ 为自然对数的底。求重积分

$$\iint_{D} \log\bigl(x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}\bigr)\,dx\,dy$$

的值。

考点

• 二重积分的极坐标变换：识别积分域为 $1\le r\le e$ 的圆环，并将被积式化为只含半径的形式后连同面积元 $r\,dr\,d\theta$ 积分。

Kai

被積分関数は

$$x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}$$

なので，極座標 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ に変換する。 領域条件より $1\le r\le e,\ 0\le\theta\le2\pi$ である。

$$\iint_{D}\log\bigl(x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}\bigr)dxdy =\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{e}\log(r^{4})rdrd\theta.$$

$\log(r^{4})=4\log r$ を用いると

$$\begin{aligned} \int_{1}^{e}4r\log rdr &=4\left[\frac{r^{2}}{2}\log r-\frac{r^{2}}{4}\right]_{1}^{e} \ &=4\left(\frac{e^{2}}{4}+\frac{1}{4}\right) =e^{2}+1. \end{aligned}$$

したがって

$$\iint_{D}\log\bigl(x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}\bigr)dxdy =\int_{0}^{2\pi}(e^{2}+1)d\theta =2\pi(e^{2}+1).$$