東京農工大学工学府共通 2024年8月実施数学 1

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祭音Myyura

関数

f(x,y)=x^{3}+y^{3}-6x^{2}+9x-6y

について、次の問いに答えなさい。

(1) $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$ を満たす点 $(x,y)$ をすべて求めなさい。

(2) $f(x,y)$ の極値をすべて求めなさい。

设

f(x,y)=x^{3}+y^{3}-6x^{2}+9x-6y.

回答下列问题：

求出所有满足 $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$ 的点 $(x,y)$ 。
求函数 $f(x,y)$ 的所有极值。

\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-12x+9 =3(x-1)(x-3),

\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-6 =3(y-\sqrt2)(y+\sqrt2).

両方 $0$ となるには

x=1,3,\qquad y=\pm\sqrt2

でなければならない。したがって求める点は

(1,\sqrt2),(1,-\sqrt2),(3,\sqrt2),(3,-\sqrt2)

である。

$2$ 次導関数は

f_{xx}=6x-12,\quad f_{yy}=6y,\quad f_{xy}=0.

判別式 $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(6x-12)(6y)$ .

$(1,\sqrt2)$ : $f_{xx}=-6,\ f_{yy}=6\sqrt2,\ D=-36\sqrt2<0$ より鞍点。
$(1,-\sqrt2)$ : $f_{xx}=-6,\ f_{yy}=-6\sqrt2,\ D=36\sqrt2>0,\ f_{xx}<0$ より極大点。値は

$f(1,-\sqrt2)=1+(-2\sqrt2)-6+9+6\sqrt2=4+4\sqrt2.$
$(3,\sqrt2)$ : $f_{xx}=6,\ f_{yy}=6\sqrt2,\ D=36\sqrt2>0,\ f_{xx}>0$ より極小点。値は

$f(3,\sqrt2)=27+2\sqrt2-54+27-6\sqrt2=-4\sqrt2.$
$(3,-\sqrt2)$ : $D=-36\sqrt2<0$ より鞍点。

よって

である。