東京農工大学工学府共通 2023年8月実施数学 1

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祭音Myyura

関数

f(x,y)=x(x+y+1)(x+2y+1)

の極値を求めなさい。

求二元函数

f(x,y)=x(x+y+1)(x+2y+1)

的所有极值。

関数を偏微分して、次の式を得る。

f_x = 3x^2 + x(6y+4) + 2y^2 + 3y + 1

f_y = x(3x + 4y + 3)

次に、偏微分方程式 $f_x = 0$ と $f_y = 0$ を解く。

f_y = x(3x + 4y + 3) = 0

この式を解くと、次の2つの場合が得られる：

次に、 $f_x = 0$ を解く。 $x = 0$ の場合を考えると：

f_x = (y + 1)(2y + 1) = 0

これを解くと、 $y = -1$ または $y = -\frac{1}{2}$ が得られる。

$y = -\frac{3x + 3}{4}$ の場合を考えると、 $x=-1$ または $x=-\frac{1}{3}$ が得られる。

よって、停留点は

(-1, 0), \quad \left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}\right), \quad (0, -1), \quad (0, -\frac{1}{2})

となり、Hessian 行列を計算して判定すると、

f_{xx}=\frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}=6x+6y+4

f_{yy}=\frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=4x

f_{xy}=\frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}=6x+4y+3

点 $(0,-1/2)$ : $f_{xx}=1$ , $f_{yy}=0$ , $f_{xy}=1$ 。 $H=(1)(0)-1^{2}=-1<0$ (鞍点)。
点 $(0,-1)$ : $f_{xx}=-2$ , $f_{yy}=0$ , $f_{xy}=-1$ 。 $H=(-2)(0)-(-1)^{2}=-1<0$ (鞍点)。
点 $(-1,0)$ : $f_{xx}=-2$ , $f_{yy}=-4$ , $f_{xy}=-3$ 。 $H=(-2)(-4)-(-3)^{2}=8-9=-1<0$ (鞍点)。
点 $(-1/3,-1/2)$ : $f_{xx}=-1$ , $f_{yy}=-4/3$ , $f_{xy}=-1$ 。 $H=(-1)(-4/3)-(-1)^{2}=4/3-1=1/3>0$ かつ $f_{xx}<0$ (局所最大値)。

従って、点 $(-1/3,-1/2)$ で関数は極値を持ち、その値（局所最大値）は $f(-1/3,-1/2)=\frac{1}{54}$ である。