東京農工大学工学府 2024年度共通数学 [2]

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1,\ x\ge0\}$ とする。 $(x,y)\in D$ における曲面 $z=xy+1$ の面積を求めよ。

设 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1,\ x\ge0\}$ 。求曲面 $z=xy+1$ 在 $D$ 上的面积。

$z_x=y$ 、 $z_y=x$ より、面積要素は

dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy=\sqrt{1+x^2+y^2}\,dx\,dy.

極座標 $x=r\cos\theta$ 、 $y=r\sin\theta$ を用いると、 $0\le r\le1$ 、 $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$ である。したがって

\begin{aligned} S&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^1r\sqrt{1+r^2}\,dr\,d\theta\\ &=\frac\pi3\left[(1+r^2)^{3/2}\right]_0^1 =\boxed{\frac{\pi(2\sqrt2-1)}3}. \end{aligned}