東京農工大学 工学府 2022年9月実施 共通数学 [3]

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• 东京农工大学
• 特征值与特征向量

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

論証過程や計算過程が分かるように解答しなさい。

行列

$$A=\begin{pmatrix}4&-1&1\\-1&4&-1\\1&-1&4\end{pmatrix}$$

について，次の問いに答えなさい。

[1] 行列 $A$ の固有値を求めなさい。

[2] $s,t$ は実数とする。ベクトル

$$v=\begin{pmatrix}2s\\s\\1\end{pmatrix}$$

が $Av=tv$ を満たすとき，$s,t$ を求めなさい。

题目描述

请作答并写出论证或计算过程。

对于矩阵

$$A=\begin{pmatrix}4&-1&1\\-1&4&-1\\1&-1&4\end{pmatrix},$$

回答以下问题。

[1] 求矩阵 $A$ 的特征值。

[2] 设 $s,t$ 为实数。向量

$$v=\begin{pmatrix}2s\\s\\1\end{pmatrix}$$

满足 $Av=tv$ 时，求 $s,t$。

Kai

[1]

$\boldsymbol u=(1,-1,1)^{\mathsf T}$ とおくと $A=3I+\boldsymbol u\boldsymbol u^{\mathsf T}$ である。$\boldsymbol u^{\mathsf T}\boldsymbol u=3$ なので、$\boldsymbol u$ 方向の固有値は $6$、その直交補空間の固有値は $3$ となる。したがって

$$\boxed{\lambda=3\ \text{（重複度2）},\quad6\ \text{（重複度1）}}.$$

[2]

成分ごとに比較すると、

$$\begin{gathered} 7s+1=2st,\qquad2s-1=st,\\ s+4=t. \end{gathered}$$

第一式から第二式の2倍を引けば $3s+3=0$。よって $s=-1$、第三式から $t=3$ であり、第二式も満たす。答えは

$$\boxed{s=-1,\qquad t=3}.$$

Reference

• 大学公式問題（1ページ）
• Miyake：対応する解答