東京農工大学工学府 2022年9月実施共通数学 [2]

标签：

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

論証過程や計算過程が分かるように解答しなさい。

立体

V=\{(x,y,z)\mid0\leq y\leq1-x^2,\ x^2y+y^2\leq z\leq y\}

の体積を求めなさい。

请作答并写出论证或计算过程。

求立体

V=\{(x,y,z)\mid0\leq y\leq1-x^2,\ x^2y+y^2\leq z\leq y\}

的体积。

$0\le y\le1-x^2$ より $-1\le x\le1$ である。また、この範囲で

y-(x^2y+y^2)=y(1-x^2-y)\ge0

なので、指定された上下限は矛盾しない。体積は

\begin{aligned} V&=\int_{-1}^1\int_0^{1-x^2}\int_{x^2y+y^2}^y dz\,dy\,dx\\ &=\int_{-1}^1\int_0^{1-x^2}y(1-x^2-y)\,dy\,dx\\ &=\frac16\int_{-1}^1(1-x^2)^3\,dx\\ &=\frac13\left(1-1+\frac35-\frac17\right) =\boxed{\frac{16}{105}}. \end{aligned}