東京農工大学工学府 2022年9月実施共通数学 [2]

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

$0\le y\le1-x^2$ 、 $x^2y+y^2\le z\le y$ によって表される立体の体積を求めよ。

求不等式 $0\le y\le1-x^2$ 、 $x^2y+y^2\le z\le y$ 所表示的立体体积。

$0\le y\le1-x^2$ より $-1\le x\le1$ である。また、この範囲で

y-(x^2y+y^2)=y(1-x^2-y)\ge0

なので、指定された上下限は矛盾しない。体積は

\begin{aligned} V&=\int_{-1}^1\int_0^{1-x^2}\int_{x^2y+y^2}^y dz\,dy\,dx\\ &=\int_{-1}^1\int_0^{1-x^2}y(1-x^2-y)\,dy\,dx\\ &=\frac16\int_{-1}^1(1-x^2)^3\,dx\\ &=\frac13\left(1-1+\frac35-\frac17\right) =\boxed{\frac{16}{105}}. \end{aligned}