東京農工大学工学府 2022年9月実施共通数学 [1]

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

論証過程や計算過程が分かるように解答しなさい。

条件 $4x^2+y^2=4$ （ $x>0$ ）のもとでの，関数

f(x,y)=\frac{x^2y+1}{x^3}

の極値を求めなさい。

请作答并写出论证或计算过程。

在条件 $4x^2+y^2=4$ （ $x>0$ ）下，求函数

f(x,y)=\frac{x^2y+1}{x^3}

的极值。

$x=\cos\theta$ 、 $y=2\sin\theta$ 、 $-\pi/2<\theta<\pi/2$ とおくと、

g(\theta)=f(x,y)=2\tan\theta+\frac1{\cos^3\theta}.

微分して、

\begin{gathered} g'(\theta)=\frac{2\cos^2\theta+3\sin\theta}{\cos^4\theta}\\ =\frac{(2-\sin\theta)(2\sin\theta+1)}{\cos^4\theta}. \end{gathered}

この区間で $2-\sin\theta>0$ なので、 $g'$ は $\theta=-\pi/6$ の前で負、後で正となる。よって唯一の極値は

\boxed{f\left(\frac{\sqrt3}{2},-1\right)=\frac{2}{3\sqrt3}\quad\text{（極小値）}}.

両端で $g\to+\infty$ となるため、これは最小値でもあり、極大値は存在しない。