東京農工大学工学府共通数学 2021年度数学 3

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

2021年4月入学（2020年10月入学を含む）の問題。

次の累次積分の値を求めなさい。

\int_0^{\sqrt\pi/4}\left(\int_{2y}^{\sqrt\pi/2}\frac{dx}{\cos^2(x^2)}\right)dy.

计算累次积分 $\displaystyle\int_0^{\sqrt\pi/4}\int_{2y}^{\sqrt\pi/2}\frac{dx\,dy}{\cos^2(x^2)}$ 。

積分領域は

0\le y\le\frac{\sqrt\pi}{4},\quad 2y\le x\le\frac{\sqrt\pi}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 0\le x\le\frac{\sqrt\pi}{2},\quad0\le y\le\frac x2.

積分順序を交換して

\begin{aligned} \int_0^{\sqrt\pi/2}\int_0^{x/2}\frac{dy\,dx}{\cos^2(x^2)} &=\int_0^{\sqrt\pi/2}\frac{x}{2\cos^2(x^2)}\,dx\\ &=\frac14\int_0^{\pi/4}\frac{du}{\cos^2u} =\frac14[\tan u]_0^{\pi/4} =\boxed{\frac14}. \end{aligned}

ここで $u=x^2$ と置いた。