東京農工大学工学府共通数学 2021年度数学 2

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

2021年4月入学（2020年10月入学を含む）の問題。

関数 $f(x,y)=2x^3+xy^2+6x^2+y^2-3$ の極値を求めなさい。

求函数 $f(x,y)=2x^3+xy^2+6x^2+y^2-3$ 的所有极值。

f_x=6x^2+12x+y^2,\qquad f_y=2y(x+1).

$f_y=0$ より $y=0$ または $x=-1$ 。 $f_x=0$ と合わせると停留点は

(0,0),\quad(-2,0),\quad(-1,\sqrt6),\quad(-1,-\sqrt6).

ヘッセ行列は

H=\begin{pmatrix}12x+12&2y\\2y&2x+2\end{pmatrix}.

$(0,0)$ では $H=\operatorname{diag}(12,2)$ で正定値、 $(-2,0)$ では $H=\operatorname{diag}(-12,-2)$ で負定値。 $(-1,\pm\sqrt6)$ では $\det H=-24<0$ なので鞍点である。よって

\boxed{(0,0)\text{ で極小値 }-3,\qquad(-2,0)\text{ で極大値 }5}.