東京農工大学 工学府 共通数学 2021年度 数学 1

标签：

• 东京农工大学
• 特征值与特征向量

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2021年4月入学（2020年10月入学を含む）の問題。

行列

$$A=\begin{pmatrix}6&-1&0\\-1/2&6&-1/2\\0&-1&6\end{pmatrix}$$

について、次の問いに答えなさい。

1. 固有値 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ を $\lambda_1>\lambda_2>\lambda_3$ の順で求めなさい。
2. 各固有値に属する固有ベクトルを $v_i=(\alpha_i,\beta_i,1)^\mathsf T$ の形でそれぞれ求めなさい。

题目描述

矩阵 $A=\begin{pmatrix}6&-1&0\\-1/2&6&-1/2\\0&-1&6\end{pmatrix}$。① 按从大到小求三个特征值。② 分别求第三分量为 1 的特征向量。

Kai

(1)

$$\det(A-\lambda I)=(6-\lambda)\{(6-\lambda)^2-1\}$$

より

$$\boxed{\lambda_1=7,\quad\lambda_2=6,\quad\lambda_3=5}.$$

(2)

$(A-\lambda_iI)v_i=0$ と第3成分が1という条件を用いる。第3行から $\beta_i=6-\lambda_i$、第1行から $(6-\lambda_i)\alpha_i=\beta_i$ である。$\lambda_2=6$ の場合は第2行より $\alpha_2=-1$。したがって

$$\boxed{v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}.$$

Reference

• 東京農工大学 令和3年度 公式問題・数学（公開アーカイブ、PDF 1ページ）