東京農工大学工学府共通数学 2020年8月実施数学 4

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

次の微分方程式の解 $y=y(x)$ で， $y(0)=0$ ， $\dfrac{dy}{dx}(0)=0$ を満たすものを求めなさい。

\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}-12y=2x-3

求以下微分方程式满足 $y(0)=0$ 、 $\dfrac{dy}{dx}(0)=0$ 的解 $y=y(x)$ ：

\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}-12y=2x-3.

同次方程式の特性方程式は $(r-3)(r+4)=0$ 。特解を $Ax+B$ と置くと

-12A=2,\qquad A-12B=-3,

より $A=-1/6,B=17/72$ 。したがって

y=C_1e^{3x}+C_2e^{-4x}-\frac x6+\frac{17}{72}.

初期条件から

C_1+C_2=-\frac{17}{72},\qquad3C_1-4C_2=\frac16

であり、 $C_1=-1/9,C_2=-1/8$ 。よって

\boxed{y=-\frac19e^{3x}-\frac18e^{-4x}-\frac x6+\frac{17}{72}}.