東京農工大学 工学府 共通数学 2020年8月実施 数学 1

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• 东京农工大学
• 特征值与特征向量

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

行列

$$A=\begin{pmatrix}6&-1&0\\-\frac12&6&-\frac12\\0&-1&6\end{pmatrix}$$

について，次の問いに答えなさい。

(1) $A$ の固有値 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$（$\lambda_1>\lambda_2>\lambda_3$）を求めなさい。

(2) (1)で求めた固有値 $\lambda_i$（$i=1,2,3$）に属する固有ベクトル $v_i$（$i=1,2,3$）で

$$\begin{pmatrix}\alpha_i\\\beta_i\\1\end{pmatrix}\quad(i=1,2,3)$$

の形のものをそれぞれ求めなさい。

题目描述

对于矩阵

$$A=\begin{pmatrix}6&-1&0\\-\frac12&6&-\frac12\\0&-1&6\end{pmatrix},$$

回答以下问题。

(1) 求 $A$ 的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，其中 $\lambda_1>\lambda_2>\lambda_3$。

(2) 分别求对应第(1)问各特征值 $\lambda_i$（$i=1,2,3$）、具有以下形式的特征向量 $v_i$：

$$\begin{pmatrix}\alpha_i\\\beta_i\\1\end{pmatrix}\quad(i=1,2,3).$$

Kai

(1)

$$\det(A-\lambda I)=(6-\lambda)\{(6-\lambda)^2-1\}$$

より

$$\boxed{\lambda_1=7,\quad\lambda_2=6,\quad\lambda_3=5}.$$

(2)

$(A-\lambda_iI)v_i=0$ と第3成分が1という条件を用いる。第3行から $\beta_i=6-\lambda_i$、第1行から $(6-\lambda_i)\alpha_i=\beta_i$ である。$\lambda_2=6$ の場合は第2行より $\alpha_2=-1$。したがって

$$\boxed{\begin{gathered} v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix},\\ v_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\\ v_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \end{gathered}}.$$

Reference

• 東京農工大学 令和3年度 公式問題・数学（公開アーカイブ、PDF 1ページ）