東京農工大学 工学府 2023年8月実施 知能情報システム工学専攻 専門科目 [6]

标签：

• 东京农工大学
• 期望与方差
• 指数分布
• 独立随机变量的卷积

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

[1]

(1) 確率密度関数 $f(x)$ を持つ連続確率変数 $X$ の平均と分散を、$f(x)$ を用いて表せ。

(2) $X$ の確率密度関数が次のとき、平均と分散を求めよ。

$$f(x)=\begin{cases}|x|&(-1\le x\le1),\\0&\text{それ以外}.\end{cases}$$

[2]

(1) $\lambda>0$ とする。連続確率変数 $X$ の累積分布関数が

$$F_X(x)=\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&(x\ge0),\\0&(x<0)\end{cases}$$

のとき、確率密度関数を求めよ。

(2) $X,Y$ が独立で、どちらも (1) の累積分布関数を持つとき、$X-Y$ の確率密度関数を求めよ。

(3) (2) の $X-Y$ の平均と分散を求めよ。

题目描述

[1] (1) 用连续随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 表示其均值和方差。(2) 当 $f(x)=|x|$（$-1\le x\le1$）、区间外为0时，计算均值和方差。

[2] (1) 设 $\lambda>0$，$X$ 的分布函数在 $x\ge0$ 时为 $1-e^{-\lambda x}$，在 $x<0$ 时为0，求概率密度。(2) 若 $X,Y$ 独立且均服从此分布，求 $X-Y$ 的密度。(3) 求 $X-Y$ 的均值和方差。

Kai

[1] (1)

各積分が存在するとき、

$$\boxed{\mu=E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx},\qquad \boxed{\operatorname{Var}(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,dx =\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)\,dx-\mu^2}.$$

[1] (2)

密度は偶関数なので $E[X]=0$ である。したがって

$$\boxed{E[X]=0,\qquad\operatorname{Var}(X)=2\int_0^1x^3\,dx=\frac12}.$$

[2] (1)

分布関数を微分して、

$$\boxed{f_X(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&(x\ge0),\\0&(x<0).\end{cases}}$$

一点 $x=0$ における密度の値は分布を変えない。

[2] (2)

$Z=X-Y$ とおく。$x=z+y\ge0$、$y\ge0$ を満たす領域で独立性を用いれば、

$$\begin{aligned} f_Z(z)&=\int_{\max(0,-z)}^\infty f_X(z+y)f_Y(y)\,dy\\ &=\lambda^2e^{-\lambda z}\int_{\max(0,-z)}^\infty e^{-2\lambda y}\,dy\\ &=\boxed{\frac\lambda2e^{-\lambda|z|}\quad(-\infty<z<\infty)}. \end{aligned}$$

[2] (3)

密度の偶対称性から平均は0。分散は

$$\boxed{\operatorname{Var}(Z)=\lambda\int_0^\infty z^2e^{-\lambda z}\,dz=\frac2{\lambda^2}}.$$

独立性より $\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)$ としても同じ結果を得る。

Reference

• 大学公式問題（9ページ）
• Miyake：対応する解答