東京農工大学工学府情報工学専攻 2019年8月実施情報基礎 6

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

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サイコロを一つ振り、出た目を確率変数 $X$ とする。偶数か奇数かを表す確率変数 $Y$ は、偶数なら $Y=1$ 、奇数なら $Y=2$ とする。各目は等確率で生じる。すべての解答は既約分数、 $\log$ 表記のままでよい。原試験では答えのみを記入する。

[1] $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

[2] $Y$ のエントロピー $H(Y)$ を求めよ。

[3] $X$ のエントロピー $H(X)$ を求めよ。

[4] 条件付きエントロピー $H(X\mid Y)$ を求めよ。

[5] 相互情報量 $I(X;Y)$ を求めよ。

题目描述

投掷一枚公平骰子，点数为 $X$ ；若点数为偶数则 $Y=1$ ，为奇数则 $Y=2$ 。求：1. $V(X)$ ；2. $H(Y)$ ；3. $H(X)$ ；4. $H(X\mid Y)$ ；5. $I(X;Y)$ 。答案可保留既约分数及对数形式，原考试仅需填写答案。

Kai

[1]

$E[X]=(1+\cdots+6)/6=7/2$ 、 $E[X^2]=(1^2+\cdots+6^2)/6=91/6$ 。よって

\boxed{V(X)=\frac{91}{6}-\left(\frac72\right)^2=\frac{35}{12}}.

[2]–[3]

$Y$ は二値の一様分布、 $X$ は六値の一様分布なので、

\boxed{H(Y)=\log2,\qquad H(X)=\log6}.

[4]

偶奇が分かると候補の目は3個に絞られ、いずれも条件付き確率 $1/3$ である。したがって

\boxed{H(X\mid Y)=\frac12\log3+\frac12\log3=\log3}.

[5]

\boxed{I(X;Y)=H(X)-H(X\mid Y)=\log6-\log3=\log2}.

情報量をビット単位で表す場合は対数の底を2とし、 $H(Y)=I(X;Y)=1$ となる。

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