東京農工大学 工学府 情報工学専攻 2019年8月実施 情報基礎 2

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• 东京农工大学
• 有限群

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

集合 $\{1,2,\ldots,n\}$ 上の全単射全体を $S_n$ とする。写像の合成により積の構造を定めると，$S_n$ は群を成し，$n$ 次の置換群と呼ばれる。置換 $\sigma\in S_n$ を

$$\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}$$

で表すことにする。

[1] 置換

$$\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&4&5&1\end{pmatrix}$$

の逆元を求めよ。

[2] $n$ 次の置換群 $S_n$ の濃度を求めよ（$n$ の式で表現せよ）。

[3] 以下の集合

$$\left\{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&4&5&1&2\end{pmatrix}\right\}$$

にできるだけ少ない個数の置換を加え，$S_5$ の部分群になるようにせよ。

题目描述

设 $S_n$ 为集合 $\{1,2,\ldots,n\}$ 上所有双射的集合。以映射复合定义乘法，$S_n$ 构成一个群，称为 $n$ 次置换群。置换 $\sigma\in S_n$ 记为

$$\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}.$$

[1] 求置换

$$\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&4&5&1\end{pmatrix}$$

的逆元。

[2] 求 $n$ 次置换群 $S_n$ 的基数，用 $n$ 的表达式表示。

[3] 在以下集合中添加尽可能少的置换，使其成为 $S_5$ 的子群：

$$\left\{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&4&5&1&2\end{pmatrix}\right\}.$$

Kai

[1]

像から元の値を逆にたどると、

$$\boxed{\sigma^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&2&1&3&4\end{pmatrix}}.$$

[2]

1の像は $n$ 通り、2の像は残り $n-1$ 通り、以下同様なので、

$$\boxed{|S_n|=n!}.$$

[3]

与えられた置換を $\tau$ とする。巡回置換では $\tau=(1\ 3\ 5\ 2\ 4)$ であり、位数は5。$\tau$ を含む部分群はそのすべての冪を含まなければならない。したがって最小のものは $\langle\tau\rangle=\{e,\tau,\tau^2,\tau^3,\tau^4\}$ であり、加える4個は

$$\boxed{\begin{gathered} e=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&2&3&4&5\end{pmatrix},\qquad \tau^2=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&1&2&3&4\end{pmatrix},\\ \tau^3=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\end{pmatrix},\qquad \tau^4=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&5&1&2&3\end{pmatrix}. \end{gathered}}$$

冪の積は指数を5で割った余りに対応し、単位元と逆元も含むので、これで確かに部分群となる。

Reference

• 大学公式問題（2ページ（公式PDFの保存版））
• Miyake：対応する解答