東京農工大学 生物システム応用科学府 2019年度実施 4 確率及び統計

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• 一维随机游走的首次返回时间

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

1から20までの整数が一つずつ記された20枚のカードが箱に入っている。無作為に1枚を取り出し、数字を記録して箱に戻す試行を繰り返す。記録した数が素数なら $x$ 軸上の動点 A を正方向へ1目盛り、素数でなければ負方向へ1目盛り動かす。初め A は原点にある。

(1) 1回の試行で正方向に移動する確率を求めよ。

(2) 6回引いたとき、A が原点に戻る確率を求めよ。

(3) 6回引いたとき、2回目、4回目、6回目のすべてで A が原点に戻る確率を求めよ。

(4) 6回引いたとき、A が初めて原点に戻る確率を求めよ。

题目描述

箱中有标着1至20的20张卡片。每次随机抽取一张，记录数字后放回。若为素数，数轴上的动点 A 向正方向走一格，否则向负方向走一格；初始位于原点。

1. 求一次试验向正方向移动的概率。
2. 求第6次抽取后回到原点的概率。
3. 求第2、4、6次抽取后都在原点的概率。
4. 求首次回到原点恰在第6次的概率。

Kai

(1)

20以下の素数は $2,3,5,7,11,13,17,19$ の8個。よって正方向の確率は $\boxed{p=8/20=2/5}$、負方向は $q=3/5$。

(2)

6回後に原点へ戻るには、正負方向へそれぞれ3回動けばよい。

$$\boxed{\binom63p^3q^3=20\left(\frac25\right)^3\left(\frac35\right)^3=\frac{864}{3125}}.$$

(3)

各2回の組で正負が1回ずつ生じればよい。三つの組は独立なので、

$$\boxed{(2pq)^3=\left(\frac{12}{25}\right)^3=\frac{1728}{15625}}.$$

(4)

途中で原点に戻らず、6回目で戻る列は

$$+++---,\quad++-+--,\quad---+++,\quad--+-++$$

の4通りである。すべて正負3回ずつなので、

$$\boxed{4p^3q^3=\frac{864}{15625}}.$$

Reference

• 大学公式問題（5ページ（公式PDFの保存版））
• Miyake：対応する解答