東京農工大学 生物システム応用科学府 2019年8月実施 4 確率及び統計

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

1 から 20 までの整数が 1 つずつ記された 20 枚のカードが箱の中に入っている。この箱の中から 1 枚のカードを無作為に取り出し，その数字を記録してから再び箱の中に戻す試行を $n$ 回行う。このとき，記録した数字が素数の場合，図に示す $x$ 軸上を移動する動点 $A$ が正の向きに 1 目盛りだけ進み，記録した数字が素数でない場合，動点 $A$ は $x$ 軸上を負の向きに 1 目盛りだけ進むものとする。はじめ，動点 $A$ は原点（$x=0$）に位置しているものとして，以下の問いに答えよ。

(1) カードを 1 回引いたとき，動点 $A$ が $x$ 軸上を正の向きに移動する確率を求めよ。

(2) カードを 6 回引いたとき，動点 $A$ が原点に戻る確率を求めよ。

(3) カードを 6 回引いたとき，動点 $A$ が 2 回目に原点に戻り，かつ，4 回目に原点に戻り，かつ 6 回目に原点に戻る確率を求めよ。

(4) カードを 6 回引いたとき，動点 $A$ が初めて原点に戻る確率を求めよ。

题目描述

箱内有 20 张卡片，分别标有 1 至 20 的整数。每次从箱中随机抽取一张卡片，记录其数字后放回箱中。将这一试验重复 $n$ 次。如果记录的数字为素数，则图中沿 $x$ 轴运动的动点 $A$ 向正方向移动一个刻度；如果记录的数字不是素数，则动点 $A$ 沿 $x$ 轴向负方向移动一个刻度。初始时动点 $A$ 位于原点（$x=0$）。回答以下问题。

(1) 抽取一次卡片时，求动点 $A$ 沿 $x$ 轴向正方向移动的概率。

(2) 抽取六次卡片时，求动点 $A$ 回到原点的概率。

(3) 抽取六次卡片时，求动点 $A$ 在第二次、第四次以及第六次均回到原点的概率。

(4) 抽取六次卡片时，求动点 $A$ 首次回到原点的概率。

Kai

(1)

20以下の素数は $2,3,5,7,11,13,17,19$ の8個。よって正方向の確率は $\boxed{p=8/20=2/5}$、負方向は $q=3/5$。

(2)

6回後に原点へ戻るには、正負方向へそれぞれ3回動けばよい。

$$\boxed{\binom63p^3q^3=20\left(\frac25\right)^3\left(\frac35\right)^3=\frac{864}{3125}}.$$

(3)

各2回の組で正負が1回ずつ生じればよい。三つの組は独立なので、

$$\boxed{(2pq)^3=\left(\frac{12}{25}\right)^3=\frac{1728}{15625}}.$$

(4)

途中で原点に戻らず、6回目で戻る列は

$$\begin{gathered} +++---,\\ ++-+--,\\ ---+++,\\ --+-++ \end{gathered}$$

の4通りである。すべて正負3回ずつなので、

$$\boxed{4p^3q^3=\frac{864}{15625}}.$$

Reference

• 大学公式問題（5ページ（公式PDFの保存版））
• Miyake：対応する解答