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東京農工大学 生物システム応用科学府 2018年度実施 4 確率及び統計

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

1から12までの整数が一つずつ記された12個のボールが箱に入っている。無作為に1個を取り出し、その数字を記録して戻す試行を nn 回行う。(2)–(7) では導出過程も示せ。

(1) 記録した整数の積が3の倍数となる事象を A とする。A は、少なくとも1回は（ア）のいずれかのボールを取り出した場合である。（ア）に入る整数をすべて答えよ。

(2) A の余事象 Aˉ\bar A は、全試行で（イ）のいずれかを取り出した場合である。（イ）に入る整数をすべて答えよ。

(3) P(Aˉ)P(\bar A) を求めよ。

(4) P(Aˉ)P(\bar A) を用いて P(A)P(A) を求めよ。

(5) 積が5の倍数となる事象を B とする。P(Bˉ)P(\bar B) を用いて P(B)P(B) を求めよ。

(6) A でも B でもない確率 P(Aˉ∩Bˉ)P(\bar A\cap\bar B) を求めよ。

(7) 積が15の倍数となる確率 P(A∩B)P(A\cap B) を、(4)–(6) の結果を用いて nn の式で表せ。

题目描述​

箱中有标着1至12的12个球，每次随机抽一个，记录后放回，重复 nn 次。A 表示所抽数字的乘积为3的倍数，B 表示乘积为5的倍数。

  1. 列出至少抽到一次就能使 A 发生的所有球号（ア）。
  2. 列出当每次都从中抽取时使 A 不发生的全部球号（イ）。
  3. 求 P(Aˉ)P(\bar A)。
  4. 利用补事件求 P(A)P(A)。
  5. 利用补事件求 P(B)P(B)。
  6. 求 P(Aˉ∩Bˉ)P(\bar A\cap\bar B)。
  7. 利用前述结果求乘积为15的倍数的概率 P(A∩B)P(A\cap B)。第2至7问写出推导。

Kai​

(1)–(2)​

3が素数であるため、積が3の倍数になることと、少なくとも一つの因子が3の倍数であることは同値である。よって

(ア)=3,6,9,12,(イ)=1,2,4,5,7,8,10,11.\boxed{(\text{ア})=3,6,9,12},\qquad \boxed{(\text{イ})=1,2,4,5,7,8,10,11}.

(3)–(4)​

各試行で3の倍数を避ける確率は 8/12=2/38/12=2/3。復元抽出による独立性から、

P(Aˉ)=(23)n,P(A)=1−(23)n.\boxed{P(\bar A)=\left(\frac23\right)^n,\qquad P(A)=1-\left(\frac23\right)^n}.

(5)​

5の倍数は5と10の2個。したがって

P(Bˉ)=(1012)n,P(B)=1−(56)n.P(\bar B)=\left(\frac{10}{12}\right)^n,\qquad \boxed{P(B)=1-\left(\frac56\right)^n}.

(6)​

3の倍数でも5の倍数でもない整数は 1,2,4,7,8,111,2,4,7,8,11 の6個なので、

P(Aˉ∩Bˉ)=(12)n.\boxed{P(\bar A\cap\bar B)=\left(\frac12\right)^n}.

(7)​

3と5は互いに素である。包除原理より、

P(A∩B)=1−P(Aˉ∪Bˉ)=1−P(Aˉ)−P(Bˉ)+P(Aˉ∩Bˉ)=1−(23)n−(56)n+(12)n.\begin{aligned} P(A\cap B)&=1-P(\bar A\cup\bar B)\\ &=1-P(\bar A)-P(\bar B)+P(\bar A\cap\bar B)\\ &=\boxed{1-\left(\frac23\right)^n-\left(\frac56\right)^n+\left(\frac12\right)^n}. \end{aligned}

Reference​

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