東京農工大学 生物システム応用科学府 2018年8月実施 4 確率及び統計

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• 东京农工大学
• 容斥原理

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

1 から 12 までの整数が 1 つずつ記された 12 個のボールが箱の中に入っている。この箱の中から 1 個のボールを無作為に取り出し，その数字を記録してから再び箱の中に戻す試行を $n$ 回行うとき，以下の問いに答えよ。(2)〜(7)は答えを導く過程も示せ。

(1) $n$ 回記録した整数の積が 3 の倍数となる事象を $A$ とする。事象 $A$ は，$n$ 回中少なくとも 1 回は【ア】のいずれかのボールを取り出した場合である。文章中の空欄（ア）に入る適切な整数を全て答えよ。

(2) 事象 $A$ の余事象 $\overline{A}$ は，$n$ 回中の全てで【イ】のいずれかのボールを取り出した場合である。文章中の空欄（イ）に入る適切な整数を全て答えよ。

(3) 余事象 $\overline{A}$ の起こる確率 $P(\overline{A})$ を求めよ。

(4) $P(\overline{A})$ を用いて事象 $A$ の起こる確率 $P(A)$ を求めよ。

(5) $n$ 回記録した整数の積が 5 の倍数となる事象を $B$ とする。余事象 $\overline{B}$ の起こる確率 $P(\overline{B})$ を用いて，事象 $B$ の起こる確率 $P(B)$ を求めよ。

(6) $n$ 回記録した整数の積が，事象 $A$ でなく，かつ，事象 $B$ でない確率 $P(\overline{A}\cap\overline{B})$ を求めよ。

(7) $n$ 回記録した整数の積が 15 の倍数となる確率は，事象 $A$ かつ事象 $B$ が起こる確率であり，$P(A\cap B)$ と表される。$P(A\cap B)$ を(4)，(5)，(6)の結果を用いて示し，$n$ を用いて表せ。

题目描述

箱内有 12 个球，分别标有 1 至 12 的整数。每次从箱中随机取出一个球，记录其数字后放回箱中。将这一试验重复 $n$ 次，回答以下问题。第(2)至(7)问须写出推导过程。

(1) 设事件 $A$ 为记录的 $n$ 个整数之积是 3 的倍数。事件 $A$ 表示在 $n$ 次抽取中，至少有一次取出标有【ア】中某个整数的球。写出空栏（ア）应填入的所有整数。

(2) 事件 $A$ 的补事件 $\overline{A}$ 表示在 $n$ 次抽取中，每一次均取出标有【イ】中某个整数的球。写出空栏（イ）应填入的所有整数。

(3) 求补事件 $\overline{A}$ 发生的概率 $P(\overline{A})$。

(4) 利用 $P(\overline{A})$，求事件 $A$ 发生的概率 $P(A)$。

(5) 设事件 $B$ 为记录的 $n$ 个整数之积是 5 的倍数。利用补事件 $\overline{B}$ 发生的概率 $P(\overline{B})$，求事件 $B$ 发生的概率 $P(B)$。

(6) 求记录的 $n$ 个整数之积既不满足事件 $A$、也不满足事件 $B$ 的概率 $P(\overline{A}\cap\overline{B})$。

(7) 记录的 $n$ 个整数之积是 15 的倍数，等价于事件 $A$ 和事件 $B$ 同时发生，其概率记为 $P(A\cap B)$。利用第(4)、(5)、(6)问的结果给出 $P(A\cap B)$，并用 $n$ 表示。

Kai

(1)–(2)

3が素数であるため、積が3の倍数になることと、少なくとも一つの因子が3の倍数であることは同値である。よって

$$\begin{gathered} \boxed{(\text{ア})=3,6,9,12},\\ \boxed{(\text{イ})=1,2,4,5,7,8,10,11}. \end{gathered}$$

(3)–(4)

各試行で3の倍数を避ける確率は $8/12=2/3$。復元抽出による独立性から、

$$\boxed{\begin{gathered} P(\bar A)=\left(\frac23\right)^n,\\ P(A)=1-\left(\frac23\right)^n \end{gathered}}.$$

(5)

5の倍数は5と10の2個。したがって

$$\begin{gathered} P(\bar B)=\left(\frac{10}{12}\right)^n,\\ \boxed{P(B)=1-\left(\frac56\right)^n}. \end{gathered}$$

(6)

3の倍数でも5の倍数でもない整数は $1,2,4,7,8,11$ の6個なので、

$$\boxed{P(\bar A\cap\bar B)=\left(\frac12\right)^n}.$$

(7)

3と5は互いに素である。包除原理より、

$$\begin{aligned} P(A\cap B)&=1-P(\bar A\cup\bar B)\\ &=1-P(\bar A)-P(\bar B)+P(\bar A\cap\bar B)\\ &=\boxed{1-\left(\frac23\right)^n-\left(\frac56\right)^n+\left(\frac12\right)^n}. \end{aligned}$$

Reference

• 大学公式問題（5ページ（公式PDFの保存版））
• Miyake：対応する解答