東京農工大学生物システム応用科学府 2017年8月実施 4 確率及び統計

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

(1) 連続確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が以下の式で与えられている。

f(x)=\begin{cases}ae^{-x/2}&(x>0),\\0&(x\leq0).\end{cases}

このとき，

(i) $f(x)$ が確率密度関数となるような定数 $a$ を求めよ。

(ii) $X$ の平均と分散を求めよ。

(2) $X$ と $Y$ を二つの連続確率変数とする。 $X$ と $Y$ の同時確率密度関数 $f(x,y)$ が，

f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{1}{47}(x+y)(x+2)&(0\leq x\leq2,\ 0\leq y\leq3),\\0&\text{（その他の範囲）}\end{cases}

で与えられているとき， $X$ と $Y$ の共分散を求めよ。

(1) 连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 如下：

f(x)=\begin{cases}ae^{-x/2}&(x>0),\\0&(x\leq0).\end{cases}

此时，

(i) 求使 $f(x)$ 成为概率密度函数的常数 $a$ 。

(ii) 求 $X$ 的均值和方差。

(2) 设 $X$ 、 $Y$ 为两个连续随机变量，其联合概率密度函数为

f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{1}{47}(x+y)(x+2)&(0\leq x\leq2,\ 0\leq y\leq3),\\0&\text{（其他范围）}.\end{cases}

求 $X$ 与 $Y$ 的协方差。

(i) 規格化条件から、 $1=\int_0^\infty ae^{-x/2}\,dx=2a$ 。よって $\boxed{a=1/2}$ 。

(ii) 部分積分を用いると、

\begin{gathered} E[X]=\frac12\int_0^\infty xe^{-x/2}\,dx=2,\\ E[X^2]=\frac12\int_0^\infty x^2e^{-x/2}\,dx=8. \end{gathered}

したがって $\boxed{E[X]=2,\quad\operatorname{Var}(X)=8-2^2=4}$ 。

まず $\int_0^2\int_0^3(x+y)(x+2)\,dy\,dx=47$ で、密度は正しく規格化されている。各モーメントは

\begin{aligned} E[X]&=\frac1{47}\int_0^2\int_0^3x(x+y)(x+2)\,dy\,dx=\frac{58}{47},\\ E[Y]&=\frac1{47}\int_0^2\int_0^3y(x+y)(x+2)\,dy\,dx=\frac{84}{47},\\ E[XY]&=\frac1{47}\int_0^2\int_0^3xy(x+y)(x+2)\,dy\,dx=\frac{102}{47}. \end{aligned}

よって

\boxed{\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{102}{47}-\frac{58\cdot84}{47^2}=-\frac{78}{2209}}.