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東京農工大学 生物システム応用科学府 2017年8月実施 4 確率及び統計

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

(1) 連続確率変数 XX の密度が

f(x)={ae−x/2(x>0),0(x≤0)f(x)=\begin{cases}ae^{-x/2}&(x>0),\\0&(x\le0)\end{cases}

で与えられる。(i) 確率密度となる定数 aa を求めよ。(ii) XX の平均と分散を求めよ。

(2) 二つの連続確率変数 X,YX,Y の同時確率密度が

f(x,y)={147(x+y)(x+2)(0≤x≤2, 0≤y≤3),0それ以外f(x,y)=\begin{cases}\dfrac1{47}(x+y)(x+2)&(0\le x\le2,\ 0\le y\le3),\\0&\text{それ以外}\end{cases}

であるとき、X,YX,Y の共分散を求めよ。

题目描述​

  1. 连续随机变量 XX 的密度在 x>0x>0 时为 ae−x/2ae^{-x/2}，其他处为0。求归一化常数 aa，再求均值与方差。
  2. X,YX,Y 的联合密度在矩形 0≤x≤2,0≤y≤30\le x\le2,0\le y\le3 上为 (x+y)(x+2)/47(x+y)(x+2)/47，其他处为0。求协方差。

Kai​

(1)​

(i) 規格化条件から、1=∫0∞ae−x/2 dx=2a1=\int_0^\infty ae^{-x/2}\,dx=2a。よって a=1/2\boxed{a=1/2}。

(ii) 部分積分を用いると、

E[X]=12∫0∞xe−x/2 dx=2,E[X2]=12∫0∞x2e−x/2 dx=8.E[X]=\frac12\int_0^\infty xe^{-x/2}\,dx=2,\qquad E[X^2]=\frac12\int_0^\infty x^2e^{-x/2}\,dx=8.

したがって E[X]=2,Var⁡(X)=8−22=4\boxed{E[X]=2,\quad\operatorname{Var}(X)=8-2^2=4}。

(2)​

まず ∫02∫03(x+y)(x+2) dy dx=47\int_0^2\int_0^3(x+y)(x+2)\,dy\,dx=47 で、密度は正しく規格化されている。各モーメントは

E[X]=147∫02∫03x(x+y)(x+2) dy dx=5847,E[Y]=147∫02∫03y(x+y)(x+2) dy dx=8447,E[XY]=147∫02∫03xy(x+y)(x+2) dy dx=10247.\begin{aligned} E[X]&=\frac1{47}\int_0^2\int_0^3x(x+y)(x+2)\,dy\,dx=\frac{58}{47},\\ E[Y]&=\frac1{47}\int_0^2\int_0^3y(x+y)(x+2)\,dy\,dx=\frac{84}{47},\\ E[XY]&=\frac1{47}\int_0^2\int_0^3xy(x+y)(x+2)\,dy\,dx=\frac{102}{47}. \end{aligned}

よって

Cov⁡(X,Y)=10247−58⋅84472=−782209.\boxed{\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{102}{47}-\frac{58\cdot84}{47^2}=-\frac{78}{2209}}.

Reference​

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