東京農工大学 生物システム応用科学府 2016年実施 4. 確率及び統計

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$X\in\{0,1\}$、$Y\in\{0,1,2,3\}$ の同時確率関数を

$$p(x,y)=k(x+y)+\frac1{16}$$

とする。

1. $k$ を求めよ。
2. 周辺分布 $P(X=x),P(Y=y)$ を求めよ。
3. $X,Y$ が独立か判定せよ。
4. $P(X=1\mid Y=2)$ と $P(X=0,Y\ge2)$ を求めよ。

Kai

(1)

$$1=\sum_{x=0}^{1}\sum_{y=0}^{3}p(x,y)=16k+\frac12$$

より

$$\boxed{k=\frac1{32}}.$$

(2)

$$\boxed{P(X=x)=\frac{x}{8}+\frac7{16}}\qquad(x=0,1),$$

$$\boxed{P(Y=y)=\frac{y}{16}+\frac5{32}}\qquad(y=0,1,2,3).$$

(3)

$$P(X=0,Y=0)=\frac1{16}\ne \frac7{16}\cdot\frac5{32}=P(X=0)P(Y=0).$$

したがって、$X,Y$ は独立でない。

(4)

$$\boxed{P(X=1\mid Y=2)=\frac{5/32}{9/32}=\frac59},$$

$$\boxed{P(X=0,Y\ge2)=\frac4{32}+\frac5{32}=\frac9{32}}.$$

Reference

• 東京農工大学 生物機能システム科学専攻 入試情報
• 東京農工大学 2016年実施 基礎科目問題