東京工業大学 理学院 物理学系 2018年8月実施 午前 [2]

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• TITech
• Rotating-Conductor-Motional-Electromotive-Force
• Cyclic-Coordinate-and-Conserved-Momentum

Author

Miyake

Description

题目描述

题面缺失边界： 当前 Description 与全部本地 Git 历史版本均为空，原电磁－机械装置图未保留。Kai 可确认一根长 $a$ 的导电杆在 $xy$ 平面内绕端点 O 转动，处于垂直平面的均匀磁场 $B_0$ 中，并涉及电压源 $V$、电阻 $R$；第 6 问改接电容 $C$。电流方向、磁场正方向和开关时序只能以 Kai 的标量符号约定表示。

1. 若杆中有电流 $I$，求均匀磁场对杆单位长度产生的力。

2. 求该磁力关于 O 的力矩。

3. 杆以角速度 $\omega$ 转动时，求杆两端的运动电动势。

4. 电路串联电压源 $V$ 和电阻 $R$ 时，求杆中电流 $I$。Kai 的符号约定对应

   $$RI=V-\frac12a^2\omega B_0.$$

5. 求磁力矩消失、角速度保持恒定时的角速度大小 $\omega_1$。

6. 改考虑线质量密度为 $\lambda$ 的杆与电容 $C$ 的耦合过程。以 $Q(t)$ 为电容电荷、$\omega(t)$ 为角速度，初始时 Kai 可确认

   $$\omega(0)=0,\qquad Q(0)=Q_0.$$

   1. 由杆关于 O 的转动惯量

      $$\frac13\lambda a^3$$

      和磁力矩建立 $\omega(t),Q(t)$ 的微分关系，并找出保存量。

   2. 在 $t\to\infty$ 时，用电容电压与运动电动势平衡的条件建立 $Q_\infty,\omega_\infty$ 的关系。

   3. 联立前两式求 $\omega_\infty$。

   Kai 在保存量中得到的系数为 $3B_0/(2\lambda a)$，但后续一行漏写 $a$，最终记录式的量纲也与前式不一致；原题面为空，无法借其裁决。因此这里只保留应求关系，不擅自选定冲突版本。

7. 第 7 问： Kai 无内容，无法恢复题意。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} IB_0 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \int_0^a r IB_0 dr = \frac{1}{2} a^2 IB_0 \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} a^2 \omega B_0 \end{aligned}$$

(4)

求める電流を $I$ とすると、オームの法則より、

$$\begin{aligned} RI = V - \frac{1}{2} a^2 \omega B_0 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} I = \frac{V - \frac{1}{2} a^2 \omega B_0}{R} \end{aligned}$$

を得る。

(5)

角速度が一定ということは、棒にはたらく力のモーメントが $0$ 、 すなわち、電流が $0$ ということである。 よって、求める角速度の大きさを $\omega_1$ とすると、 (4) より、

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} a^2 \omega_1 B_0 = V \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \omega_1 = \frac{2V}{a^2 B_0} \end{aligned}$$

を得る。

(6)

（ア）

点 $O$ を通り $xy$ 平面に垂直な軸に関する棒の慣性モーメントは $\frac{1}{3} \lambda a^3$ であるから、 棒の回転の運動方程式は次のようになる：

$$\begin{aligned} \frac{1}{3} \lambda a^3 \frac{d \omega (t)}{dt} = \frac{1}{2} a^2 B_0 \frac{d Q (t)}{dt} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \therefore \ \ \ \ \frac{d \omega (t)}{dt} - \frac{3B_0}{2 \lambda a} \frac{d Q (t)}{dt} = 0 \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} \omega (t) - \frac{3B_0}{2 \lambda a} Q (t) \end{aligned}$$

が保存量である。

（イ）

充分長い時間が経過した後では、 コンデンサの電圧と棒に生じる誘導起電力がつり合うので、

$$\begin{aligned} \frac{Q_\infty}{C} = \frac{1}{2} a^2 \omega_\infty B_0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \therefore \ \ \ \ Q_\infty = \frac{1}{2} a^2 \omega_\infty B_0 C \end{aligned}$$

が成り立つ。

（ウ）

（ア）より、

$$\begin{aligned} \omega_\infty - \frac{3B_0}{2 \lambda} Q_\infty = - \frac{3B_0}{2 \lambda} Q_0 \end{aligned}$$

が成り立つ。 これと、（イ）で得た式から、 $Q_\infty$ を消去して、

$$\begin{aligned} \omega_\infty = \frac{6 B_0 Q_0}{3a^2 B_0^2 C - 4 \lambda} \end{aligned}$$

を得る。

(7)