東京工業大学 理学院 物理学系 2018年8月実施 午前 [2]

标签：

• TITech
• Rotating-Conductor-Motional-Electromotive-Force
• Cyclic-Coordinate-and-Conserved-Momentum

Author

Miyake

Description

Kai

(1)

$$\begin{aligned} IB_0 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \int_0^a r IB_0 dr = \frac{1}{2} a^2 IB_0 \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} a^2 \omega B_0 \end{aligned}$$

(4)

求める電流を $I$ とすると、オームの法則より、

$$\begin{aligned} RI = V - \frac{1}{2} a^2 \omega B_0 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} I = \frac{V - \frac{1}{2} a^2 \omega B_0}{R} \end{aligned}$$

を得る。

(5)

角速度が一定ということは、棒にはたらく力のモーメントが $0$ 、 すなわち、電流が $0$ ということである。 よって、求める角速度の大きさを $\omega_1$ とすると、 (4) より、

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} a^2 \omega_1 B_0 = V \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \omega_1 = \frac{2V}{a^2 B_0} \end{aligned}$$

を得る。

(6)

（ア）

点 $O$ を通り $xy$ 平面に垂直な軸に関する棒の慣性モーメントは $\frac{1}{3} \lambda a^3$ であるから、 棒の回転の運動方程式は次のようになる：

$$\begin{aligned} \frac{1}{3} \lambda a^3 \frac{d \omega (t)}{dt} = \frac{1}{2} a^2 B_0 \frac{d Q (t)}{dt} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \therefore \ \ \ \ \frac{d \omega (t)}{dt} - \frac{3B_0}{2 \lambda a} \frac{d Q (t)}{dt} = 0 \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} \omega (t) - \frac{3B_0}{2 \lambda a} Q (t) \end{aligned}$$

が保存量である。

（イ）

充分長い時間が経過した後では、 コンデンサの電圧と棒に生じる誘導起電力がつり合うので、

$$\begin{aligned} \frac{Q_\infty}{C} = \frac{1}{2} a^2 \omega_\infty B_0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \therefore \ \ \ \ Q_\infty = \frac{1}{2} a^2 \omega_\infty B_0 C \end{aligned}$$

が成り立つ。

（ウ）

（ア）より、

$$\begin{aligned} \omega_\infty - \frac{3B_0}{2 \lambda} Q_\infty = - \frac{3B_0}{2 \lambda} Q_0 \end{aligned}$$

が成り立つ。 これと、（イ）で得た式から、 $Q_\infty$ を消去して、

$$\begin{aligned} \omega_\infty = \frac{6 B_0 Q_0}{3a^2 B_0^2 C - 4 \lambda} \end{aligned}$$

を得る。

(7)