東京工業大学 理学院 数学系 2021年8月実施 午前 [1]

标签：

• TITech
• Permutation-Matrix-and-Minimal-Polynomial
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

Miyake

Description

题目描述

题面缺失边界： 当前 Description 与全部本地 Git 历史版本均为空。以下线性映射、基下矩阵以及所求多项式可由 Kai 唯一恢复；原题对向量空间的名称、底域和“特征多项式”的符号约定没有留存。

设五维线性空间有有序基

$$(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\boldsymbol v_3, \boldsymbol v_4,\boldsymbol v_5),$$

线性映射 $f_\sigma$ 在该基上满足

$$\begin{aligned} f_\sigma(\boldsymbol v_1)&=\boldsymbol v_3,& f_\sigma(\boldsymbol v_2)&=\boldsymbol v_4,\\ f_\sigma(\boldsymbol v_3)&=\boldsymbol v_5,& f_\sigma(\boldsymbol v_4)&=\boldsymbol v_2,\\ f_\sigma(\boldsymbol v_5)&=\boldsymbol v_1. \end{aligned}$$

这对应置换的两个循环

$$(1\ 3\ 5)(2\ 4).$$

1. 求 $f_\sigma$ 关于上述有序基的表示矩阵 $A_\sigma$。
2. 求 $A_\sigma$ 的特征多项式并因式分解。
3. 求 $A_\sigma$ 的最小多项式，并验证把 $A_\sigma$ 代入该多项式得到零矩阵。

Kai

(1)

まず、

$$\begin{align} \begin{pmatrix} f_\sigma(\boldsymbol{v}_1) & f_\sigma(\boldsymbol{v}_2) & f_\sigma(\boldsymbol{v}_3) & f_\sigma(\boldsymbol{v}_4) & f_\sigma(\boldsymbol{v}_5) \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{v}_3 & \boldsymbol{v}_4 & \boldsymbol{v}_5 & \boldsymbol{v}_2 & \boldsymbol{v}_1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 & \boldsymbol{v}_3 & \boldsymbol{v}_4 & \boldsymbol{v}_5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ \therefore \ \ A_\sigma &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align}$$

である。

$A_\sigma$ の固有多項式を $f(x)$ とすると、

$$\begin{align} f(x) &= \det \begin{pmatrix} x & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & x & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & x & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & x \\ \end{pmatrix} \\ &= x^5 - x^3 - x^2 + 1 \\ &= (x+1)(x-1)^2(x^2+x+1) \end{align}$$

である。また、

$$\begin{align} g(x) &= (x+1)(x-1)(x^2+x+1) \end{align}$$

とおくと

$$\begin{align} g(A_\sigma) &= \text{零行列} \end{align}$$

が成り立つので、 $g(x)$ が $A_\sigma$ の最小多項式である。