東京工業大学理学院地球惑星科学系 2021年8月実施午前 [3]

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Author

Miyake

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题目描述

题面缺失边界： 当前 Description 与全部本地 Git 历史版本均为空。Kai 的 3-1、3-2 也完全空白；只有 3-3 可恢复。

3-1： 无可恢复内容。
3-2： 无可恢复内容。
3-3： 设 $X_1,\ldots,X_N$ 相互独立，且

$P(X_i=1)=p,\qquad P(X_i=0)=1-p,$

并令成功次数

$n=\sum_{i=1}^NX_i.$
1. 求 $E(X_i)$ ；对 $i\neq j$ ，求 $E(X_iX_j)$ 。
2. 求 $E(n)$ 与 $V(n)$ 。
3. 研究 $n$ 的二项分布：
  1. 写出概率质量函数
    
    $f(n)=P\!\left(\sum_{i=1}^NX_i=n\right).$
  2. 令 $g(n)=\log f(n)$ 。在
    
    $N\gg1,\qquad n\gg1,\qquad N-n\gg1$
    
    时使用 Stirling 近似，并暂把 $n$ 视为实数，通过 $g'(n)$ 求分布峰值位置 $n_*$ 。
  3. 在 $n=n_*$ 附近把 $g(n)$ 作二阶 Taylor 展开，说明当 $n-Np$ 为 $\sqrt{Np(1-p)}$ 量级时，二项分布可近似为均值 $Np$ 、标准差 $\sqrt{Np(1-p)}$ 的正态分布。

考点

Bernoulli 与二项分布：利用独立性计算指标变量乘积的期望，再从和的二阶矩求成功次数的均值、方差。
Stirling 公式：对二项概率取对数并近似阶乘，通过连续化求最可能成功次数。
二项分布的正态近似：在对数概率峰值处作二阶展开，识别 Gaussian 指数中的均值与方差尺度。
缺失题面边界：3-1、3-2 完全没有材料依据，故不作地球科学情境上的臆测。

Kai

3-1

3-2

3-3

3-3-1

\begin{align} E(X_i) &= 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) \\ &= p \\ E(X_iX_j) &= E(X_i)E(X_j) \\ &= p^2 \end{align}

3-3-2

\begin{align} n &= \sum_{i=1}^N X_i \\ E(n) &= \sum_{i=1}^N E(X_i) \\ &= Np \\ E \left( n^2 \right) &= \sum_{i=1}^N E \left( X_i^2 \right) + \sum_{i,j \ (i \neq j)} E \left( X_i X_j \right) \\ &= Np + N(N-1)p^2 \\ V(n) &= E \left( n^2 \right) - E(n)^2 \\ &= Np + N(N-1)p^2 - N^2p^2 \\ &= Np(1-p) \end{align}

3-3-3

3-3-3-1

\begin{align} f(n) &= {}_NC_n p^n(1-p)^{N-n} \\ &= \frac{N!}{n!(N-n)!} p^n(1-p)^{N-n} \end{align}

3-3-3-2

$g(n) = \log f(n)$ とおくと、

\begin{align} g(n) &= \log f(n) \\ &= \log N! - \log n! - \log (N-n)! + n \log p + (N-n) \log (1-p) \\ &\sim N \log N - n \log n - (N-n) \log (N-n) + n \log p + (N-n) \log (1-p) \ \ \ \ \ \ \ \ (N \gg 1, \ n \gg 1, \ N-n \gg 1) \end{align}

である。 $n$ が実数であるとして導関数を求めると、

\begin{align} g'(n) &= - \log n - 1 + \log (N-n) + 1 + \log p - \log (1-p) \\ &= \log \frac{(N-n)p}{n(1-p)} \end{align}

となるので、以下の増減表を得る：

\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline n & 0 & \cdots & Np & \cdots & N \\ \hline g' & & + & 0 & - & \\ \hline g & & \nearrow & & \searrow & \\ \hline f & & \nearrow & & \searrow & \\ \hline \end{array}

よって、 $n_*=Np$ である。

3-3-3-3

3-3-3-2. の $g(n)$ の2階導関数は

\begin{align} g''(n) &= - \frac{N}{n(N-n)} \end{align}

であり、

\begin{align} g(n_*) &= 0 \\ g'(n_*) &= 0 \\ g''(n_*) &= - \frac{1}{Np(1-p)} \end{align}

であるから、 $g(n)$ の $n=n_* (=Np)$ のまわりでの2次までのテイラー展開は

\begin{align} g(n) &= - \frac{1}{2Np(1-p)} (n-Np)^2 + \cdots \end{align}

である。よって、 $n-Np$ が $\sqrt{Np(1-p)}$ 程度の範囲内において

\begin{align} f(n) &= C e^{- \frac{(n-Np)^2}{2Np(1-p)}} \ \ \ \ \ \ \ \ (C \text{ は適当な定数 } ) \end{align}

と書け、これは期待値 $Np$ 標準偏差 $\sqrt{Np(1-p)}$ の正規分布である。

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考点​

Kai​

3-1​

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3-3​

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3-3-2​

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3-3-3-2​

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