東京科学大学 生命理工学院 生命理工学系 2024年度 午前 ⑦

标签：

• TITech
• Consecutive-First-Order-Reaction-Kinetics

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

逐次一次反応

$$A\xrightarrow{k_a}B\xrightarrow{k_b}C$$

を考える。初期条件を $[A](0)=[A]_0,[B](0)=[C](0)=0$ とし、逆反応と副反応は無視する。

1. 物質収支を示せ。
2. $[A]$ の速度式を示せ。
3. $[B]$ の速度式を示せ。
4. $[C]$ の式中の空欄を求めよ。
5. $[B]$ が最大となる時刻 $t_{\max}$ を求めよ。

Kai

1)

$$\boxed{[A]_0=[A]+[B]+[C]}.$$

2)

$$\boxed{\frac{d[A]}{dt}=-k_a[A]},\qquad [A]=[A]_0e^{-k_at}.$$

3)

$$\boxed{\frac{d[B]}{dt}=k_a[A]-k_b[B]}.$$

4)

積分因子 $e^{k_bt}$ を用いると

$$[B]=\frac{k_a[A]_0}{k_b-k_a}\left(e^{-k_at}-e^{-k_bt}\right).$$

したがって

$$[C]=\left\{1+\frac{k_ae^{-k_bt}-k_be^{-k_at}}{k_b-k_a}\right\}[A]_0,$$

ゆえに空欄は

$$\boxed{k_ae^{-k_bt}-k_be^{-k_at}}.$$

5)

$$\frac{d[B]}{dt}=0 \iff k_be^{-k_bt}=k_ae^{-k_at}.$$

よって

$$\boxed{t_{\max}=\frac{\log(k_b/k_a)}{k_b-k_a}}.$$

Reference

• 東京科学大学 大学院 過去の入試問題
• 生命理工学系 2023年実施問題（2024年度入試）