東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2022年8月実施 概率统计

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• TITech
• Independence-of-Random-Variables
• Expectation-and-Variance
• Confidence-Interval

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

3. 次の問い (1) ～ (4) に答えよ．解答に際しては，必要に応じて， $\sqrt{2} = 1.41, \sqrt{3} = 1.73, \sqrt{5} = 2.24, \sqrt{13} = 3.61$ および下記の $t$ 分布のパーセント点の表を用いよ．数値は小数点第一位まで求めよ．

(1) 大都市 A 市に住む世帯から 5 世帯を無作為に抽出し，ある年の 4 月のある一日を選んで，電力消費量を調査した．その結果， $12, 8, 13, 10, 12$ (kWh/日) のサンプルデータが得られた．母分散を未知として，母平均の 95% 信頼区間を求めよ．

(2) 再び大都市 A 市に住む世帯から 5 世帯を無作為に抽出し，同じ年の 5 月のある一日を選んで，電力消費量を調査した．その結果， $11, 9, 12, 8, 10$ (kWh/日) のサンプルデータが得られた．(1) のサンプルと (2) のサンプルは 2 つの母集団から得られた独立な 2 つのサンプルとした場合，母平均の差の 95% 信頼区間を求めよ． なお，2 つの母集団の母分散は未知であるが等しいと仮定する．このとき，各サンプルのサンプル数を $m, n$ ，平均を $\bar{x}, \bar{y}$ ，不偏分散を $\hat{\sigma}_x^2, \hat{\sigma}_y^2$ とすると，

$$\frac{\bar{x} - \bar{y}}{\sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} \hat{\sigma}}$$

は自由度 $m+n-2$ の $t$ 分布にしたがうものとする．なお，

$$\hat{\sigma}^2 = \frac{(m-1)\hat{\sigma}_x^2 + (n-1)\hat{\sigma}_y^2}{(m-1) + (n-1)}$$

とする．

(3) (2) において抽出された 5 世帯が (1) において抽出された 5 世帯と同一であり，得られたサンプルデータも同じ順番 $(12, 11), (8, 9), (13, 12), (10, 8), (12, 10)$ で対応する場合，対応のある 2 つのサンプルとして，母平均の差の 95% 信頼区間を求めよ．

(4) (2) と (3) の信頼区間が異なる理由を簡潔に述べよ．

题目描述

回答下列第 1 至第 4 问。必要时可采用

$$\sqrt2=1.41,\qquad \sqrt3=1.73,\qquad \sqrt5=2.24,\qquad \sqrt{13}=3.61$$

以及题面所指的 $t$ 分布百分位点表；所有数值结果保留到小数点后一位。

1. 从大城市 A 市的居民家庭中随机抽取 $5$ 户，调查某年四月某一天的用电量，得到样本

   $$12,\ 8,\ 13,\ 10,\ 12 \qquad(\mathrm{kWh/日}).$$

   在总体方差未知的条件下，求四月该市家庭日用电量总体均值的 $95\%$ 置信区间。

2. 再从 A 市居民家庭中随机抽取 $5$ 户，调查同年五月某一天的用电量，得到样本

   $$11,\ 9,\ 12,\ 8,\ 10 \qquad(\mathrm{kWh/日}).$$

   把四月样本与五月样本视为来自两个总体的相互独立样本；两个总体的方差均未知，但假定相等。求“四月总体均值减五月总体均值”的 $95\%$ 置信区间。

   设两个样本的样本量分别为 $m,n$，样本均值为 $\bar x,\bar y$，无偏方差为 $\hat\sigma_x^2,\hat\sigma_y^2$。可使用以下结论：

   $$\frac{\bar x-\bar y} {\sqrt{\frac1m+\frac1n}\,\hat\sigma}$$

   服从自由度 $m+n-2$ 的 $t$ 分布，其中合并方差为

   $$\hat\sigma^2 = \frac{(m-1)\hat\sigma_x^2+(n-1)\hat\sigma_y^2} {(m-1)+(n-1)}.$$

3. 改设五月抽取的 $5$ 户与四月抽取的 $5$ 户完全相同，数据按同一顺序配对为

   $$(12,11),\ (8,9),\ (13,12),\ (10,8),\ (12,10).$$

   把它们作为两个配对样本，求“四月总体均值减五月总体均值”的 $95\%$ 置信区间。

4. 简要说明第 2 问与第 3 问得到的置信区间不同的原因。

资料边界：当前文件没有收录题面引用的 $t$ 分布百分位点表及其原图，因而无法恢复整张表的版式和其他数值。Kai 只能唯一确认本题实际需要的标准临界值为 $t_{0.975,4}=2.776$ 与 $t_{0.975,8}=2.306$；其余题设、样本和公式均可由现有文字确定。

Kai

3.

以下では母平均の差を「4月の母平均 $-$ 5月の母平均」とする。95%信頼区間には標準的な値

$$t_{0.975,4}=2.776,\qquad t_{0.975,8}=2.306$$

を用いる。

(1)

4月標本の平均は

$$\bar{x}=\frac{12+8+13+10+12}{5}=11.0$$

であり、偏差平方和は

$$1^2+(-3)^2+2^2+(-1)^2+1^2=16.$$

したがって不偏分散と不偏標準偏差は

$$\hat\sigma_x^2=\frac{16}{4}=4,\qquad \hat\sigma_x=2.$$

母分散未知なので自由度4の $t$ 区間を用いると、

$$\bar{x}\pm t_{0.975,4}\frac{\hat\sigma_x}{\sqrt5} =11\pm2.776\frac{2}{\sqrt5} =11\pm2.483.$$

小数第1位までで

$$\boxed{8.5\le \mu_{\mathrm{Apr}}\le13.5\quad(\mathrm{kWh/日})}$$

である。

(2)

5月標本について

$$\bar{y}=10.0,\qquad \sum_{i=1}^5(y_i-\bar y)^2=1+1+4+4+0=10$$

なので、 $\hat\sigma_y^2=10/4=2.5$ である。等分散を仮定したプール分散は

$$\hat\sigma^2 =\frac{4\cdot4+4\cdot2.5}{8} =\frac{13}{4}=3.25.$$

標準誤差は

$$\sqrt{\frac15+\frac15}\,\hat\sigma =\sqrt{\frac25}\frac{\sqrt{13}}2 =\sqrt{1.3}.$$

したがって自由度8の95%信頼区間は

$$(\bar x-\bar y)\pm t_{0.975,8}\sqrt{1.3} =1\pm2.629.$$

よって小数第1位までで

$$\boxed{-1.6\le \mu_{\mathrm{Apr}}-\mu_{\mathrm{May}}\le3.6\quad(\mathrm{kWh/日})}$$

である。

(3)

対応差 $d_i=x_i-y_i$ は

$$(1,-1,1,2,2)$$

である。その平均は $\bar d=1.0$ 、偏差平方和は

$$0^2+(-2)^2+0^2+1^2+1^2=6$$

なので、差の不偏分散は $s_d^2=6/4=1.5$ である。自由度4の対応のある $t$ 区間は

$$\bar d\pm t_{0.975,4}\frac{s_d}{\sqrt5} =1\pm2.776\sqrt{\frac{1.5}{5}} =1\pm1.520.$$

したがって

$$\boxed{-0.5\le \mu_{\mathrm{Apr}}-\mu_{\mathrm{May}}\le2.5\quad(\mathrm{kWh/日})}$$

である。

(4)

(2) は10個の観測を独立とみなし、2標本の個体間変動を含むプール分散から標準誤差を求めている。一方、(3) は同じ世帯内の差を取るため、世帯ごとに共通する消費水準を相殺し、差の分散から標準誤差を求める。本データでは同一世帯の4月・5月消費量に正の対応があり、差のばらつきが小さいため、(3) の区間の方が狭くなる。また、用いる自由度も (2) では8、(3) では4と異なる。

图像边界：原始 JSON 引用了 question_images/未知_未知_20260121_151241_420176.png，但该文件没有随 JSON 一并提供。本文只保留能够由文字和公式确认的内容。