東京工業大学環境・社会理工学院融合理工学系 2022年8月実施微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

$0 \le x \le \pi, t \ge 0$ で定義された次の偏微分方程式 (1) を，与えられた境界条件・初期条件 (2) のもと，変数分離法により解け．

\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = 4 \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} \tag{1}

u(0, t) = 0, \quad u(\pi, t) = 0, \quad u(x, 0) = 2 \sin 3x - 4 \sin 5x \tag{2}

在区域

0\leq x\leq\pi,\qquad t\geq0

上，使用分离变量法求解热方程

\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} =4\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}, \tag{1}

并满足齐次固定端边界条件与初始条件

u(0,t)=0,\qquad u(\pi,t)=0,\qquad u(x,0)=2\sin3x-4\sin5x. \tag{2}

境界条件は $u(0,t)=u(\pi,t)=0$ と読む。 $u(x,t)=X(x)T(t)$ とおくと、

XT'=4X''T

より

\frac{T'}{4T}=\frac{X''}{X}=-\lambda

である。したがって

X''+\lambda X=0,\qquad T'+4\lambda T=0.

境界条件 $X(0)=X(\pi)=0$ を満たす非自明解は

\lambda=n^2,\qquad X_n(x)=\sin nx\qquad(n=1,2,\ldots)

であり、対応する時間因子は $T_n(t)=e^{-4n^2t}$ である。よって一般に

u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_ne^{-4n^2t}\sin nx.

初期条件

u(x,0)=2\sin3x-4\sin5x

から、直交性により $c_3=2,\ c_5=-4$ 、その他の $c_n$ は $0$ である。したがって

\boxed{u(x,t)=2e^{-36t}\sin3x-4e^{-100t}\sin5x}

を得る。各項は $u_t=4u_{xx}$ を満たし、 $x=0,\pi$ で消え、 $t=0$ で所定の初期関数になるので、すべての条件を満たしている。