東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2021年8月実施 概率统计 Author 思齐塾 , 祭音Myyura
Description
互いに独立なふたつの正規確率変数 X i ( i = 1 , 2 ) X_i (i = 1, 2) X i ( i = 1 , 2 ) μ X i , σ X i 2 ( i = 1 , 2 ) \mu_{X_i}, \sigma_{X_i}^2 (i = 1, 2) μ X i , σ X i 2 ( i = 1 , 2 ) Λ = α 1 X 1 + α 2 X 2 \Lambda = \alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2 Λ = α 1 X 1 + α 2 X 2 Λ \Lambda Λ μ Λ \mu_\Lambda μ Λ σ Λ 2 \sigma_\Lambda^2 σ Λ 2 α i ( i = 1 , 2 ) \alpha_i (i = 1, 2) α i ( i = 1 , 2 )
μ Λ = α 1 μ X 1 + α 2 μ X 2 (1) \mu_\Lambda = \alpha_1 \mu_{X_1} + \alpha_2 \mu_{X_2} \tag{1} μ Λ = α 1 μ X 1 + α 2 μ X 2 ( 1 ) σ Λ 2 = α 1 2 σ X 1 2 + α 2 2 σ X 2 2 (2) \sigma_\Lambda^2 = \alpha_1^2 \sigma_{X_1}^2 + \alpha_2^2 \sigma_{X_2}^2 \tag{2} σ Λ 2 = α 1 2 σ X 1 2 + α 2 2 σ X 2 2 ( 2 ) このことを用いて以下の問いに答えよ。
なお，任意の確率変数 X X X μ \mu μ σ 2 \sigma^2 σ 2 X X X
f X ( x ) = 1 2 π σ 2 exp [ − 1 2 ( ( x − μ ) 2 σ 2 ) ] (3) f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2} \right) \right] \tag{3} f X ( x ) = 2 π σ 2 1 exp [ − 2 1 ( σ 2 ( x − μ ) 2 ) ] ( 3 ) また，解答にあたっては次ページの表 2，表 3 に示す近似値を正しい値とみなして計算に用いること。
(1) N N N N N N X i ( i = 1 , … , N ) X_i (i = 1, \ldots, N) X i ( i = 1 , … , N ) μ X i , σ X i 2 ( i = 1 , … , N ) \mu_{X_i}, \sigma_{X_i}^2 (i = 1, \ldots, N) μ X i , σ X i 2 ( i = 1 , … , N ) Z Z Z
Z = ∑ i = 1 N α i X i (4) Z = \sum_{i=1}^{N} \alpha_i X_i \tag{4} Z = i = 1 ∑ N α i X i ( 4 ) ただし， α i \alpha_i α i i i i α i ≠ 0 \alpha_i \neq 0 α i = 0
(2) A 市から B 市へ移動する場合，図 1 に示すように P 町を経由するルート a と Q 村を経由するルート b がある。A → P, P → B, A → Q, Q → B の各区間の所要時間は正規分布に従うと仮定することができて，それらの平均および分散は表 1 に示す値であることがわかっている。
表 1 各区間の所要時間の平均および分散
ルート 区間 平均 [時間] 分散 [時間^2] a A → P 3 2 P → B 7 4 b A → Q 5 1 Q → B 6 2
このとき，A 市から B 市へ移動する場合について，以下の問いに答えよ。
問 1. ルート a の所要時間が 8 時間 12 分以内となる確率を求めよ。
問 2. ルート b の所要時間が 10 時間 9 分以上，12 時間 42 分以下となる確率を求めよ。
問 3. ルート a のほうがルート b よりも早く B 市に到着する確率を求めよ。
图像边界：原始 JSON 引用了 question_images/东京工业大学_融合理工_2021_20260121_150911_856934.png，但该文件没有随 JSON 一并提供。本文只保留能够由文字和公式确认的内容。
题目描述
考虑两个相互独立的正态随机变量 X i X_i X i i = 1 , 2 i=1,2 i = 1 , 2 μ X i \mu_{X_i} μ X i σ X i 2 \sigma_{X_i}^2 σ X i 2 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α 1 , α 2
Λ = α 1 X 1 + α 2 X 2 \Lambda=\alpha_1X_1+\alpha_2X_2 Λ = α 1 X 1 + α 2 X 2 仍服从正态分布，其均值与方差为
μ Λ = α 1 μ X 1 + α 2 μ X 2 , (1) \mu_\Lambda
=\alpha_1\mu_{X_1}+\alpha_2\mu_{X_2}, \tag{1} μ Λ = α 1 μ X 1 + α 2 μ X 2 , ( 1 ) σ Λ 2 = α 1 2 σ X 1 2 + α 2 2 σ X 2 2 . (2) \sigma_\Lambda^2
=\alpha_1^2\sigma_{X_1}^2+\alpha_2^2\sigma_{X_2}^2. \tag{2} σ Λ 2 = α 1 2 σ X 1 2 + α 2 2 σ X 2 2 . ( 2 ) 并可使用如下事实：若随机变量 X X X μ \mu μ σ 2 \sigma^2 σ 2
f X ( x ) = 1 2 π σ 2 exp [ − 1 2 ( x − μ ) 2 σ 2 ] . (3) f_X(x)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
\exp\!\left[
-\frac12\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}
\right]. \tag{3} f X ( x ) = 2 π σ 2 1 exp [ − 2 1 σ 2 ( x − μ ) 2 ] . ( 3 ) 作答时，题面要求把下一页表 2、表 3 中给出的近似值视为准确值使用。回答下列问题。
设 X i X_i X i i = 1 , … , N i=1,\ldots,N i = 1 , … , N N N N N N N X i X_i X i μ X i \mu_{X_i} μ X i σ X i 2 \sigma_{X_i}^2 σ X i 2 α i \alpha_i α i α i ≠ 0 \alpha_i\neq0 α i = 0
Z = ∑ i = 1 N α i X i . (4) Z=\sum_{i=1}^{N}\alpha_iX_i. \tag{4} Z = i = 1 ∑ N α i X i . ( 4 ) 求随机变量 Z Z Z
从 A 市到 B 市有两条路线。图 1 的含义是：路线 a 依次经过 A → \to → → \to → → \to → → \to →
路线 区段 均值（小时） 方差（小时2 ^2 2 a A → \to → 3 2 a P → \to → 7 4 b A → \to → 5 1 b Q → \to → 6 2
回答以下三问。
求路线 a 的总行程时间不超过 8 8 8 12 12 12
求路线 b 的总行程时间在 10 10 10 9 9 9 12 12 12 42 42 42
求走路线 a 比走路线 b 更早到达 B 市的概率。
资料边界：当前文件没有随题面提供图 1 以及表 2、表 3 的图片。路线拓扑和上表数值可由文字唯一恢复，但表 2、表 3 特有的查表精度与舍入值无法恢复。另据 Kai，现有文字没有明确说明四个区段的行程时间相互独立；上述概率按通常出题意图需要作此独立性假设，否则还缺少协方差信息，三个数值概率均不能唯一确定。
Kai 4. 独立な正規確率変数の線形結合
以下では，問題冒頭の独立性を各区間の所要時間にも適用し，四つの区間時間は互いに独立であるという通常の出題意図で計算する。
(1)
二変数について与えられた事実を帰納的に用いると，
Z = ∑ i = 1 N α i X i Z=\sum_{i=1}^{N}\alpha_iX_i Z = i = 1 ∑ N α i X i も正規分布に従い，その平均と分散は
μ Z = ∑ i = 1 N α i μ X i , σ Z 2 = ∑ i = 1 N α i 2 σ X i 2 \mu_Z=\sum_{i=1}^{N}\alpha_i\mu_{X_i},\qquad
\sigma_Z^2=\sum_{i=1}^{N}\alpha_i^2\sigma_{X_i}^2 μ Z = i = 1 ∑ N α i μ X i , σ Z 2 = i = 1 ∑ N α i 2 σ X i 2 である。少なくとも一つの α i \alpha_i α i σ Z 2 > 0 \sigma_Z^2>0 σ Z 2 > 0
f Z ( z ) = 1 2 π ∑ i = 1 N α i 2 σ X i 2 exp [ − ( z − ∑ i = 1 N α i μ X i ) 2 2 ∑ i = 1 N α i 2 σ X i 2 ] . \boxed{
f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sum_{i=1}^{N}\alpha_i^2\sigma_{X_i}^2}}
\exp\!\left[-\frac{\left(z-\sum_{i=1}^{N}\alpha_i\mu_{X_i}\right)^2}{2\sum_{i=1}^{N}\alpha_i^2\sigma_{X_i}^2}\right]
}. f Z ( z ) = 2 π ∑ i = 1 N α i 2 σ X i 2 1 exp − 2 ∑ i = 1 N α i 2 σ X i 2 ( z − ∑ i = 1 N α i μ X i ) 2 . (2) 問1
ルート a の総所要時間を T a T_a T a
T a ∼ N ( 3 + 7 , 2 + 4 ) = N ( 10 , 6 ) . T_a\sim N(3+7,\,2+4)=N(10,6). T a ∼ N ( 3 + 7 , 2 + 4 ) = N ( 10 , 6 ) . 8時間12分は 8.2 8.2 8.2 Φ \Phi Φ
P ( T a ≤ 8.2 ) = Φ ( 8.2 − 10 6 ) = Φ ( − 0.734846 … ) ≈ 0.2312 . P(T_a\le8.2)=\Phi\!\left(\frac{8.2-10}{\sqrt6}\right)
=\Phi(-0.734846\ldots)
\approx\boxed{0.2312}. P ( T a ≤ 8.2 ) = Φ ( 6 8.2 − 10 ) = Φ ( − 0.734846 … ) ≈ 0.2312 . (2) 問2
ルート b の総所要時間を T b T_b T b
T b ∼ N ( 5 + 6 , 1 + 2 ) = N ( 11 , 3 ) . T_b\sim N(5+6,\,1+2)=N(11,3). T b ∼ N ( 5 + 6 , 1 + 2 ) = N ( 11 , 3 ) . 10時間9分は 10.15 10.15 10.15 12.7 12.7 12.7
P ( 10.15 ≤ T b ≤ 12.7 ) = Φ ( 12.7 − 11 3 ) − Φ ( 10.15 − 11 3 ) = Φ ( 0.981495 … ) − Φ ( − 0.490748 … ) ≈ 0.836826 − 0.311802 ≈ 0.5250 . \begin{aligned}
P(10.15\le T_b\le12.7)
&=\Phi\!\left(\frac{12.7-11}{\sqrt3}\right)-\Phi\!\left(\frac{10.15-11}{\sqrt3}\right)\\
&=\Phi(0.981495\ldots)-\Phi(-0.490748\ldots)\\
&\approx0.836826-0.311802\\
&\approx\boxed{0.5250}.
\end{aligned} P ( 10.15 ≤ T b ≤ 12.7 ) = Φ ( 3 12.7 − 11 ) − Φ ( 3 10.15 − 11 ) = Φ ( 0.981495 … ) − Φ ( − 0.490748 … ) ≈ 0.836826 − 0.311802 ≈ 0.5250 . (2) 問3
独立性から差 D = T a − T b D=T_a-T_b D = T a − T b
D ∼ N ( 10 − 11 , 6 + 3 ) = N ( − 1 , 9 ) . D\sim N(10-11,\,6+3)=N(-1,9). D ∼ N ( 10 − 11 , 6 + 3 ) = N ( − 1 , 9 ) . したがって
P ( T a < T b ) = P ( D < 0 ) = Φ ( 0 − ( − 1 ) 3 ) = Φ ( 1 / 3 ) ≈ 0.6306 . P(T_a<T_b)=P(D<0)=\Phi\!\left(\frac{0-(-1)}{3}\right)
=\Phi(1/3)\approx\boxed{0.6306}. P ( T a < T b ) = P ( D < 0 ) = Φ ( 3 0 − ( − 1 ) ) = Φ ( 1/3 ) ≈ 0.6306 . 欠落画像について
本文が参照する図1および表2・表3の画像は利用できない。図1の経路情報と表1の数値は本文中に再掲されているため上の式は確定するが，表2・表3に固有の丸め方による最終小数値だけは復元できない。そのため数値は標準正規分布を直接計算した値である。また，もし各区間時間の独立性を仮定しないなら，共分散が本文に与えられていないため三つの数値確率はいずれも一意には定まらない。