東京工業大学環境・社会理工学院融合理工学系 2021年8月実施微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

次の偏微分方程式を与えられた境界条件のもと，変数分離法により解け。なお，方程式が線形の場合，重ね合わせの原理（解を線形結合したものも，その方程式の解になること）が成り立つことに注意すること。

\frac{\partial u(x, y)}{\partial x} = 2 \frac{\partial u(x, y)}{\partial y} + u(x, y),

u(x, 0) = 3e^{-5x} + 2e^{-3x}

使用分离变量法，在给定边界条件下求解偏微分方程

\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} =2\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}+u(x,y),

其中

u(x,0)=3e^{-5x}+2e^{-3x}.

求解时注意该方程是线性的，因此若若干函数分别是它的解，则这些解的线性组合仍是解；应据此把边界函数中的两个指数项分别对应到分离解后再叠加。

$u(x,y)=X(x)Y(y)$ とおく。非零解について方程式を $XY$ で割ると

\frac{X'}{X}=2\frac{Y'}{Y}+1=\lambda

となる。よって

X(x)=C_1e^{\lambda x},\qquad Y(y)=C_2e^{(\lambda-1)y/2},

したがって各分離解は

u_\lambda(x,y)=C e^{\lambda x+(\lambda-1)y/2}

である。

境界値 $u(x,0)=3e^{-5x}+2e^{-3x}$ は $\lambda=-5$ と $\lambda=-3$ の二つのモードの和である。線形性により対応する分離解を重ね合わせれば

\boxed{u(x,y)=3e^{-5x-3y}+2e^{-3x-2y}}.

確認すると

u_x=-15e^{-5x-3y}-6e^{-3x-2y}=2u_y+u

であり，また $y=0$ で指定された境界値に一致する。