東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2021年8月実施 午後 問題B [問題1]

标签：

• TITech
• Second-Order-Linear-Ordinary-Differential-Equation
• Initial-Value-Problem
• Method-of-Undetermined-Coefficients
• Resonant-Forcing

Author

Miyake

Description

题目描述

题面缺失边界： 当前 Description 与全部本地 Git 历史版本均为空。第 1 问的三个初值问题可由 Kai 唯一恢复；第 2 问在 Kai 中完全空白。

1. 求下列初值问题的解：

   1. $$f''(t)-4f'(t)+4f(t)=0, \qquad f(0)=3,\quad f'(0)=4.$$
   2. $$f''(t)-4f'(t)+3f(t)=e^t, \qquad f(0)=0,\quad f'(0)=3.$$
   3. $$f''(t)+3f'(t)+2f(t)=8t^2, \qquad f(0)=0,\quad f'(0)=0.$$

2. 第 2 问： Kai 无内容，无法恢复题意、条件或分问。

考点

• 二阶常系数初值问题：分别处理重特征根和两个不同实根，并由两个初值确定齐次解常数。
• 待定系数法：对与齐次模态共振的 $e^t$ 右端乘以 $t$ 试探，对二次多项式右端使用同次多项式试探。
• 共振强迫：识别 $e^t$ 已对应特征根 $1$，据此选择 $Ate^t$ 而非 $Ae^t$。
• 缺失题面边界：第 2 问没有可用材料，不列推测性考点。

Kai

1.

(1)

$f(t)=e^{\lambda t}$ を与えられた微分方程式に代入すると、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - 4 \lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0 \end{aligned}$$

となるので、一般解は、積分定数を $C_1, C_2$ として、

$$\begin{aligned} f(t) = (C_1 + C_2 t) e^{2t} \end{aligned}$$

である。 初期条件を満たすためには、 $C_1=3, C_2=-2$ とすればよく、

$$\begin{aligned} f(t) = (3 - 2t) e^{2t} \end{aligned}$$

が求める解である。

(2)

与えられた微分方程式を斉次にした $f''(t)-4f'(t)+3f(t)=0$ の一般解は、積分定数を $C_1, C_2$ として、

$$\begin{aligned} f(t) = C_1 e^t + C_2 e^{3t} \end{aligned}$$

である。 また、 $f(t)=Ate^t$ を与えられた微分方程式に代入すると $A = -1/2$ を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、

$$\begin{aligned} f(t) = C_1 e^t + C_2 e^{3t} - \frac{1}{2} t e^t \end{aligned}$$

である。 初期条件を満たすためには、 $C_1=-7/4, C_2=7/4$ とすればよく、

$$\begin{aligned} f(t) = -\frac{7}{4} e^t + \frac{7}{4} e^{3t} - \frac{1}{2} t e^t \end{aligned}$$

が求める解である。

(3)

与えられた微分方程式を斉次にした $f''(t)+3f'(t)+2f(t)=0$ の一般解は、積分定数を $C_1, C_2$ として、

$$\begin{aligned} f(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} \end{aligned}$$

である。 また、 $f(t)=At^2+Bt+C$ を与えられた微分方程式に代入すると $A=4,B=-12,C=14$ を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、

$$\begin{aligned} f(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + 4t^2 - 12t + 14 \end{aligned}$$

である。 初期条件を満たすためには、 $C_1=-16, C_2=2$ とすればよく、

$$\begin{aligned} f(t) = -16 e^{-t} + 2 e^{-2t} + 4t^2 - 12t + 14 \end{aligned}$$

が求める解である。

2.