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東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2021年8月実施 午後 問題B [問題1]

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Author​

Miyake

Description​

Kai​

1.​

(1)​

f(t)=eλtf(t)=e^{\lambda t} を与えられた微分方程式に代入すると、

λ2−4λ+4=(λ−2)2=0 \begin{aligned} \lambda^2 - 4 \lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0 \end{aligned}

となるので、一般解は、積分定数を C1,C2C_1, C_2 として、

f(t)=(C1+C2t)e2t \begin{aligned} f(t) = (C_1 + C_2 t) e^{2t} \end{aligned}

である。 初期条件を満たすためには、 C1=3,C2=−2C_1=3, C_2=-2 とすればよく、

f(t)=(3−2t)e2t \begin{aligned} f(t) = (3 - 2t) e^{2t} \end{aligned}

が求める解である。

(2)​

与えられた微分方程式を斉次にした f′′(t)−4f′(t)+3f(t)=0f''(t)-4f'(t)+3f(t)=0 の一般解は、積分定数を C1,C2C_1, C_2 として、

f(t)=C1et+C2e3t\begin{aligned} f(t) = C_1 e^t + C_2 e^{3t} \end{aligned}

である。 また、 f(t)=Atetf(t)=Ate^t を与えられた微分方程式に代入すると A=−1/2A = -1/2 を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、

f(t)=C1et+C2e3t−12tet\begin{aligned} f(t) = C_1 e^t + C_2 e^{3t} - \frac{1}{2} t e^t \end{aligned}

である。 初期条件を満たすためには、 C1=−7/4,C2=7/4C_1=-7/4, C_2=7/4 とすればよく、

f(t)=−74et+74e3t−12tet\begin{aligned} f(t) = -\frac{7}{4} e^t + \frac{7}{4} e^{3t} - \frac{1}{2} t e^t \end{aligned}

が求める解である。

(3)​

与えられた微分方程式を斉次にした f′′(t)+3f′(t)+2f(t)=0f''(t)+3f'(t)+2f(t)=0 の一般解は、積分定数を C1,C2C_1, C_2 として、

f(t)=C1e−t+C2e−2t\begin{aligned} f(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} \end{aligned}

である。 また、 f(t)=At2+Bt+Cf(t)=At^2+Bt+C を与えられた微分方程式に代入すると A=4,B=−12,C=14A=4,B=-12,C=14 を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、

f(t)=C1e−t+C2e−2t+4t2−12t+14\begin{aligned} f(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + 4t^2 - 12t + 14 \end{aligned}

である。 初期条件を満たすためには、 C1=−16,C2=2C_1=-16, C_2=2 とすればよく、

f(t)=−16e−t+2e−2t+4t2−12t+14\begin{aligned} f(t) = -16 e^{-t} + 2 e^{-2t} + 4t^2 - 12t + 14 \end{aligned}

が求める解である。

2.​

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