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東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2020年8月実施 概率统计

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

  1. ある工場で生産される製品の強度の母平均は10であった。この製品の材料を変更することを検討する。材料を変えた製品から無作為に10個の標本を抽出し、その強度を調べたところ、次のような結果を得た。

11, 9.0, 9.0, 10, 8.0, 10, 9.0, 9.0, 9.0, 11

この時、以下の問いに答えよ。

(1) 材料を変更した製品強度の標本平均 X‾\overline{X} 、標本分散 S2S^2 、不偏分散 U2U^2 を求めよ。

(2) 材料を変更することによって強度に変化があったか否か、有意水準10%で検定せよ。なお、この問いを解くにあたっては、表4.1を用いてよい。また、計算に当たっては、 2=1.414\sqrt{2} = 1.414 、 5=2.236\sqrt{5} = 2.236 、 11=3.317\sqrt{11} = 3.317 、 17=4.123\sqrt{17} = 4.123 としてよい。

表4.1 t分布表 自由度 vv で Pr{t≥tα(v)}=αPr\{t \geq t_\alpha (v)\} = \alpha となる tα(v)t_\alpha (v)

自由度 vv上側確率 α\alpha0.200.100.050.025
90.8831.3831.8332.262
100.8791.3721.8122.228
110.8761.3631.7962.201

题目描述​

某工厂原来生产的产品强度总体均值为 1010，现考虑更换产品材料。从更换材料后的产品中随机抽取 1010 个，测得强度为

11, 9.0, 9.0, 10, 8.0, 10, 9.0, 9.0, 9.0, 11.11,\ 9.0,\ 9.0,\ 10,\ 8.0,\ 10,\ 9.0,\ 9.0,\ 9.0,\ 11.

回答下列问题。

  1. 求更换材料后产品强度的样本均值 X‾\overline X、以样本量 nn 为分母的样本方差 S2S^2，以及以 n−1n-1 为分母的无偏方差 U2U^2。

  2. 在显著性水平 10%10\% 下，检验更换材料是否使产品的总体平均强度发生变化。可以使用表 4.1，并可在计算中采用

    2=1.414,5=2.236,11=3.317,17=4.123.\sqrt2=1.414,\qquad \sqrt5=2.236,\qquad \sqrt{11}=3.317,\qquad \sqrt{17}=4.123.

    表 4.1 给出自由度为 vv 的 tt 分布上侧临界值 tα(v)t_\alpha(v)，其定义为

    Pr⁡{t≥tα(v)}=α.\Pr\{t\geq t_\alpha(v)\}=\alpha.
    自由度 vvt0.20(v)t_{0.20}(v)t0.10(v)t_{0.10}(v)t0.05(v)t_{0.05}(v)t0.025(v)t_{0.025}(v)
    90.8831.3831.8332.262
    100.8791.3721.8122.228
    110.8761.3631.7962.201

Kai​

4. (1)​

標本数は n=10n=10 、データの和は 9595 なので

X‾=9510=9.5.\boxed{\overline X=\frac{95}{10}=9.5}.

平均との差の平方和は

∑i=110(xi−X‾)2=3(1.5)2+7(0.5)2=172.\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline X)^2 =3(1.5)^2+7(0.5)^2 =\frac{17}{2}.

したがって、分母を nn とする標本分散と、分母を n−1n-1 とする不偏分散は

S2=110172=1720=0.85,U2=19172=1718≈0.9444.\boxed{S^2=\frac1{10}\frac{17}{2}=\frac{17}{20}=0.85},\qquad \boxed{U^2=\frac1{9}\frac{17}{2}=\frac{17}{18}\approx0.9444}.

4. (2)​

「変化があったか」を調べるので両側検定とし、

H0:μ=10,H1:μ≠10H_0:\mu=10,\qquad H_1:\mu\ne10

とおく。母分散は未知なので、自由度 n−1=9n-1=9 の一標本 tt 検定を用いる。検定統計量は

t=X‾−10U2/n=−1/217/180=−3517≈−3(2.236)4.123≈−1.627.\begin{aligned} t &=\frac{\overline X-10}{\sqrt{U^2/n}} =\frac{-1/2}{\sqrt{17/180}} =-\frac{3\sqrt5}{\sqrt{17}}\\ &\approx-\frac{3(2.236)}{4.123}\approx-1.627. \end{aligned}

有意水準 10%10\% の両側検定では片側 5%5\% ずつなので、表より臨界値は

t0.05(9)=1.833.t_{0.05}(9)=1.833.
∣t∣≈1.627<1.833|t|\approx1.627<1.833

であるから、 H0H_0 は棄却されない。したがって

有意水準 10% では、材料変更によって平均強度が変化したとはいえない。\boxed{\text{有意水準 }10\%\text{ では、材料変更によって平均強度が変化したとはいえない。}}
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