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東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2020年8月実施 线性代数

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

  1. A\mathbf{A} を対角行列とするとき，正方行列 A=[10−1121223]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \end{bmatrix} に対し， A=P−1AP\mathbf{A} = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} となる行列 P\mathbf{P} を求めよ。

题目描述​

  1. 对给定方阵

    M=[10−1121223],M= \begin{bmatrix} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{bmatrix},

    求一个可逆矩阵 PP，使相似变换

    Λ=P−1MP\Lambda=P^{-1}MP

    为对角矩阵，并给出所得对角矩阵 Λ\Lambda。

资料边界：现有日文题面把给定的非对角矩阵和目标对角矩阵都记作 A\mathbf A，因而写成了 A=P−1AP\mathbf A=\mathbf P^{-1}\mathbf A\mathbf P。Kai 能唯一确认的通常出题意图是上面的矩阵对角化问题，但无法恢复原题中两个矩阵各自原本使用的字母；若完全按现有等式逐字理解，条件只等价于 AP=PAAP=PA，并不能唯一确定 PP。

Kai​

2.​

問題文では、対角行列と与えられた非対角行列がともに A\mathbf A と記されているため、そのままでは記号が矛盾する。以下では、与えられた行列を

M=[10−1121223]M=\begin{bmatrix}1&0&-1\\1&2&1\\2&2&3\end{bmatrix}

とし、意図された対角行列を Λ=P−1MP\Lambda=P^{-1}MP と解釈する。

特性多項式は

det⁡(λI−M)=(λ−1)(λ−2)(λ−3)\det(\lambda I-M)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)

である。固有値 1,2,31,2,3 に対応する固有ベクトルとして、それぞれ

v1=[1−10],v2=[2−1−2],v3=[1−1−2]\boldsymbol v_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol v_2=\begin{bmatrix}2\\-1\\-2\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol v_3=\begin{bmatrix}1\\-1\\-2\end{bmatrix}

を取れる。これらを列に並べて

P=[121−1−1−10−2−2]\boxed{P=\begin{bmatrix}1&2&1\\-1&-1&-1\\0&-2&-2\end{bmatrix}}

とおけば、 det⁡P=−2≠0\det P=-2\ne0 であり、

MP=Pdiag⁡(1,2,3).MP=P\operatorname{diag}(1,2,3).

したがって

P−1MP=[100020003].\boxed{P^{-1}MP=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}.

実際、

P−1=[0−11/2110−1−1−1/2]P^{-1}=\begin{bmatrix}0&-1&1/2\\1&1&0\\-1&-1&-1/2\end{bmatrix}

であり、直接の積でも確認できる。固有ベクトルの順序や各列の非零定数倍を変えた行列 PP も正解である。なお、問題文を文字どおり同一行列について A=P−1APA=P^{-1}AP と読むと、条件は単に AP=PAAP=PA となり、対角化問題にはならない。

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